Theorem gruex 45036

Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every set is contained in a Grothendieck universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
gruex	⊢ ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem gruex

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 9765	. . 3 ⊢ (rank‘𝑥) ∈ On
2		inaex 45035	. . 3 ⊢ ((rank‘𝑥) ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧
4		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
5		inawina 10681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ Inaccw)
6		winaon 10679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ Inaccw → 𝑧 ∈ On)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ On)
8	7	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑧 ∈ On)
9		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	rankr1a 9806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
11	8, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
12	4, 11	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧))
13		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑦 = (𝑅1‘𝑧))
14	12, 13	eleqtrrd 2865	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑦)
15		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → 𝑧 ∈ Inacc)
16	15	inagrud 45034	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → (𝑅1‘𝑧) ∈ Univ)
17	14, 16	rspcime 3585	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦)
18	17	rexlimiva 3157	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦)
19	3, 18	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088  Oncon0 6360  ‘cfv 6536  𝑅₁cr1 9732  rankcrnk 9733  Inacc_wcwina 10673  Inacccina 10674  Univcgru 10781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-reg 9552  ax-inf2 9608  ax-ac2 10453  ax-groth 10814

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-smo 8331  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9470  df-har 9517  df-r1 9734  df-rank 9735  df-card 9932  df-aleph 9933  df-cf 9934  df-acn 9935  df-ac 10107  df-wina 10675  df-ina 10676  df-tsk 10740  df-gru 10782

This theorem is used by:  rr-groth  45037  rr-grothprim  45038  rr-grothshort  45042