Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gruex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruex 40940
 Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every set is contained in a Grothendieck universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
gruex 𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem gruex
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankon 9212 . . 3 (rank‘𝑥) ∈ On
2 inaex 40939 . . 3 ((rank‘𝑥) ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧
4 simplr 768 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1𝑧)) → (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
5 inawina 10101 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ Inaccw)
6 winaon 10099 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Inaccw𝑧 ∈ On)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ On)
87ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1𝑧)) → 𝑧 ∈ On)
9 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
109rankr1a 9253 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
118, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1𝑧)) → (𝑥 ∈ (𝑅1𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
124, 11mpbird 260 . . . . 5 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝑅1𝑧))
13 simpr 488 . . . . 5 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1𝑧)) → 𝑦 = (𝑅1𝑧))
1412, 13eleqtrrd 2917 . . . 4 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1𝑧)) → 𝑥𝑦)
15 simpl 486 . . . . 5 ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → 𝑧 ∈ Inacc)
1615inagrud 40938 . . . 4 ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → (𝑅1𝑧) ∈ Univ)
1714, 16rspcime 3602 . . 3 ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦)
1817rexlimiva 3267 . 2 (∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦)
193, 18ax-mp 5 1 𝑦 ∈ Univ 𝑥𝑦
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3131  Oncon0 6169  ‘cfv 6334  𝑅1cr1 9179  rankcrnk 9180  Inaccwcwina 10093  Inacccina 10094  Univcgru 10201 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-ac2 9874  ax-groth 10234 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-smo 7970  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-oi 8962  df-har 9009  df-r1 9181  df-rank 9182  df-card 9356  df-aleph 9357  df-cf 9358  df-acn 9359  df-ac 9531  df-wina 10095  df-ina 10096  df-tsk 10160  df-gru 10202 This theorem is referenced by:  rr-groth  40941  rr-grothprim  40942
 Copyright terms: Public domain W3C validator