Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gruex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruex 42670
Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every set is contained in a Grothendieck universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
gruex βˆƒπ‘¦ ∈ Univ π‘₯ ∈ 𝑦
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦

Proof of Theorem gruex
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankon 9739 . . 3 (rankβ€˜π‘₯) ∈ On
2 inaex 42669 . . 3 ((rankβ€˜π‘₯) ∈ On β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Inacc (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧)
31, 2ax-mp 5 . 2 βˆƒπ‘§ ∈ Inacc (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧
4 simplr 768 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1β€˜π‘§)) β†’ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧)
5 inawina 10634 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Inacc β†’ 𝑧 ∈ Inaccw)
6 winaon 10632 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Inaccw β†’ 𝑧 ∈ On)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ Inacc β†’ 𝑧 ∈ On)
87ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1β€˜π‘§)) β†’ 𝑧 ∈ On)
9 vex 3451 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
109rankr1a 9780 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π‘§) ↔ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧))
118, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1β€˜π‘§)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π‘§) ↔ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧))
124, 11mpbird 257 . . . . 5 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1β€˜π‘§)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π‘§))
13 simpr 486 . . . . 5 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1β€˜π‘§)) β†’ 𝑦 = (𝑅1β€˜π‘§))
1412, 13eleqtrrd 2837 . . . 4 (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1β€˜π‘§)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑦)
15 simpl 484 . . . . 5 ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ Inacc)
1615inagrud 42668 . . . 4 ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧) β†’ (𝑅1β€˜π‘§) ∈ Univ)
1714, 16rspcime 3586 . . 3 ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ Univ π‘₯ ∈ 𝑦)
1817rexlimiva 3141 . 2 (βˆƒπ‘§ ∈ Inacc (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ Univ π‘₯ ∈ 𝑦)
193, 18ax-mp 5 1 βˆƒπ‘¦ ∈ Univ π‘₯ ∈ 𝑦
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  Oncon0 6321  β€˜cfv 6500  π‘…1cr1 9706  rankcrnk 9707  Inaccwcwina 10626  Inacccina 10627  Univcgru 10734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407  ax-groth 10767
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-smo 8296  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-oi 9454  df-har 9501  df-r1 9708  df-rank 9709  df-card 9883  df-aleph 9884  df-cf 9885  df-acn 9886  df-ac 10060  df-wina 10628  df-ina 10629  df-tsk 10693  df-gru 10735
This theorem is referenced by:  rr-groth  42671  rr-grothprim  42672  rr-grothshort  42676
  Copyright terms: Public domain W3C validator