Theorem gruex 45068

Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every set is contained in a Grothendieck universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
gruex	⊢ ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem gruex

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 9774	. . 3 ⊢ (rank‘𝑥) ∈ On
2		inaex 45067	. . 3 ⊢ ((rank‘𝑥) ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧
4		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
5		inawina 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ Inaccw)
6		winaon 10690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ Inaccw → 𝑧 ∈ On)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ On)
8	7	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑧 ∈ On)
9		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	rankr1a 9815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
11	8, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
12	4, 11	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧))
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑦 = (𝑅1‘𝑧))
14	12, 13	eleqtrrd 2868	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑦)
15		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → 𝑧 ∈ Inacc)
16	15	inagrud 45066	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → (𝑅1‘𝑧) ∈ Univ)
17	14, 16	rspcime 3588	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦)
18	17	rexlimiva 3160	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦)
19	3, 18	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  Oncon0 6364  ‘cfv 6540  𝑅₁cr1 9741  rankcrnk 9742  Inacc_wcwina 10684  Inacccina 10685  Univcgru 10792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-reg 9561  ax-inf2 9617  ax-ac2 10462  ax-groth 10825

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-smo 8339  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-oi 9479  df-har 9526  df-r1 9743  df-rank 9744  df-card 9941  df-aleph 9942  df-cf 9943  df-acn 9944  df-ac 10116  df-wina 10686  df-ina 10687  df-tsk 10751  df-gru 10793

This theorem is used by:  rr-groth  45069  rr-grothprim  45070  rr-grothshort  45074