Theorem gruex 43972

Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every set is contained in a Grothendieck universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
gruex	⊢ ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem gruex

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 9838	. . 3 ⊢ (rank‘𝑥) ∈ On
2		inaex 43971	. . 3 ⊢ ((rank‘𝑥) ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧
4		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
5		inawina 10733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ Inaccw)
6		winaon 10731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ Inaccw → 𝑧 ∈ On)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ On)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑧 ∈ On)
9		vex 3466	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	rankr1a 9879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
12	4, 11	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧))
13		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑦 = (𝑅1‘𝑧))
14	12, 13	eleqtrrd 2829	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑦)
15		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → 𝑧 ∈ Inacc)
16	15	inagrud 43970	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → (𝑅1‘𝑧) ∈ Univ)
17	14, 16	rspcime 3613	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦)
18	17	rexlimiva 3137	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦)
19	3, 18	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3060  Oncon0 6376  ‘cfv 6554  𝑅₁cr1 9805  rankcrnk 9806  Inacc_wcwina 10725  Inacccina 10726  Univcgru 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-reg 9635  ax-inf2 9684  ax-ac2 10506  ax-groth 10866

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-smo 8376  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-oi 9553  df-har 9600  df-r1 9807  df-rank 9808  df-card 9982  df-aleph 9983  df-cf 9984  df-acn 9985  df-ac 10159  df-wina 10727  df-ina 10728  df-tsk 10792  df-gru 10834

This theorem is referenced by:  rr-groth  43973  rr-grothprim  43974  rr-grothshort  43978