Theorem gruex 44742

Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every set is contained in a Grothendieck universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
gruex	⊢ ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem gruex

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 9710	. . 3 ⊢ (rank‘𝑥) ∈ On
2		inaex 44741	. . 3 ⊢ ((rank‘𝑥) ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧
4		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
5		inawina 10604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ Inaccw)
6		winaon 10602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ Inaccw → 𝑧 ∈ On)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ On)
8	7	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑧 ∈ On)
9		vex 3435	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	rankr1a 9751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
12	4, 11	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧))
13		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑦 = (𝑅1‘𝑧))
14	12, 13	eleqtrrd 2842	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑦)
15		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → 𝑧 ∈ Inacc)
16	15	inagrud 44740	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → (𝑅1‘𝑧) ∈ Univ)
17	14, 16	rspcime 3565	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦)
18	17	rexlimiva 3132	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦)
19	3, 18	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  Oncon0 6310  ‘cfv 6485  𝑅₁cr1 9677  rankcrnk 9678  Inacc_wcwina 10596  Inacccina 10597  Univcgru 10704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-reg 9497  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376  ax-groth 10737

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-smo 8276  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9415  df-har 9462  df-r1 9679  df-rank 9680  df-card 9854  df-aleph 9855  df-cf 9856  df-acn 9857  df-ac 10029  df-wina 10598  df-ina 10599  df-tsk 10663  df-gru 10705

This theorem is referenced by:  rr-groth  44743  rr-grothprim  44744  rr-grothshort  44748