Theorem inaex 41915

Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every ordinal is contained in an inaccessible ordinal. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
inaex	⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴 ∈ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem inaex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 10446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		winaon 10444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ On)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
4	3	ssriv 3925	. . . . 5 ⊢ Inacc ⊆ On
5		onmindif 6355	. . . . 5 ⊢ ((Inacc ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
6	4, 5	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
8		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
9	7, 8	eleqtrrd 2842	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑥)
10		difss 4066	. . . . 5 ⊢ (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ Inacc
11	10, 4	sstri 3930	. . . 4 ⊢ (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On
12		inaprc 10592	. . . . . . 7 ⊢ Inacc ∉ V
13	12	neli 3051	. . . . . 6 ⊢ ¬ Inacc ∈ V
14		ssdif0 4297	. . . . . . 7 ⊢ (Inacc ⊆ suc 𝐴 ↔ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
15		sucexg 7655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
16		ssexg 5247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Inacc ⊆ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V) → Inacc ∈ V)
17	16	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
19	14, 18	syl5bir 242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅ → Inacc ∈ V))
20	13, 19	mtoi 198	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
21	20	neqned 2950	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅)
22		onint 7640	. . . 4 ⊢ (((Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On ∧ (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅) → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
23	11, 21, 22	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
24	23	eldifad 3899	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ Inacc)
25	9, 24	rspcime 3564	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴 ∈ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∩ cint 4879  Oncon0 6266  suc csuc 6268  Inacc_wcwina 10438  Inacccina 10439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-ac2 10219  ax-groth 10579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-smo 8177  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-oi 9269  df-har 9316  df-r1 9522  df-card 9697  df-aleph 9698  df-cf 9699  df-acn 9700  df-ac 9872  df-wina 10440  df-ina 10441  df-tsk 10505

This theorem is referenced by:  gruex  41916