Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inaex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inaex 42567
Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every ordinal is contained in an inaccessible ordinal. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
inaex (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem inaex
StepHypRef Expression
1 inawina 10626 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2 winaon 10624 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
43ssriv 3948 . . . . 5 Inacc ⊆ On
5 onmindif 6409 . . . . 5 ((Inacc ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 (Inacc ∖ suc 𝐴))
64, 5mpan 688 . . . 4 (𝐴 ∈ On → 𝐴 (Inacc ∖ suc 𝐴))
76adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 (Inacc ∖ suc 𝐴))
8 simpr 485 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴))
97, 8eleqtrrd 2841 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴𝑥)
10 difss 4091 . . . . 5 (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ Inacc
1110, 4sstri 3953 . . . 4 (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On
12 inaprc 10772 . . . . . . 7 Inacc ∉ V
1312neli 3051 . . . . . 6 ¬ Inacc ∈ V
14 ssdif0 4323 . . . . . . 7 (Inacc ⊆ suc 𝐴 ↔ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
15 sucexg 7740 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
16 ssexg 5280 . . . . . . . . 9 ((Inacc ⊆ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V) → Inacc ∈ V)
1716expcom 414 . . . . . . . 8 (suc 𝐴 ∈ V → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
1914, 18biimtrrid 242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → ((Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅ → Inacc ∈ V))
2013, 19mtoi 198 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → ¬ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
2120neqned 2950 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅)
22 onint 7725 . . . 4 (((Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On ∧ (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅) → (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
2311, 21, 22sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
2423eldifad 3922 . 2 (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ Inacc)
259, 24rspcime 3584 1 (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  c0 4282   cint 4907  Oncon0 6317  suc csuc 6319  Inaccwcwina 10618  Inacccina 10619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399  ax-groth 10759
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-smo 8292  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9446  df-har 9493  df-r1 9700  df-card 9875  df-aleph 9876  df-cf 9877  df-acn 9878  df-ac 10052  df-wina 10620  df-ina 10621  df-tsk 10685
This theorem is referenced by:  gruex  42568
  Copyright terms: Public domain W3C validator