Theorem inaex 45280

Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every ordinal is contained in an inaccessible ordinal. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
inaex	⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴 ∈ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem inaex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 10775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		winaon 10773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ On)
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
4	3	ssriv 3935	. . . . 5 ⊢ Inacc ⊆ On
5		onmindif 6457	. . . . 5 ⊢ ((Inacc ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
6	4, 5	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
9	7, 8	eleqtrrd 2864	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑥)
10		difss 4083	. . . . 5 ⊢ (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ Inacc
11	10, 4	sstri 3940	. . . 4 ⊢ (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On
12		inaprc 10921	. . . . . . 7 ⊢ Inacc ∉ V
13	12	neli 3064	. . . . . 6 ⊢ ¬ Inacc ∈ V
14		ssdif0 4314	. . . . . . 7 ⊢ (Inacc ⊆ suc 𝐴 ↔ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
15		sucexg 7819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
16		ssexg 5281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Inacc ⊆ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V) → Inacc ∈ V)
17	16	expcom 419	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
18	15, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
19	14, 18	biimtrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅ → Inacc ∈ V))
20	13, 19	mtoi 202	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
21	20	neqned 2963	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅)
22		onint 7804	. . . 4 ⊢ (((Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On ∧ (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅) → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
23	11, 21, 22	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
24	23	eldifad 3911	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ Inacc)
25	9, 24	rspcime 3582	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴 ∈ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∩ cint 4907  Oncon0 6362  suc csuc 6364  Inacc_wcwina 10767  Inacccina 10768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-ac2 10541  ax-groth 10908

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-smo 8354  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-oi 9504  df-har 9551  df-r1 9768  df-card 10020  df-aleph 10021  df-cf 10022  df-acn 10023  df-ac 10195  df-wina 10769  df-ina 10770  df-tsk 10834

This theorem is used by:  gruex  45281