Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inaex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inaex 41423
 Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every ordinal is contained in an inaccessible ordinal. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
inaex (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem inaex
StepHypRef Expression
1 inawina 10163 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2 winaon 10161 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
43ssriv 3898 . . . . 5 Inacc ⊆ On
5 onmindif 6263 . . . . 5 ((Inacc ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 (Inacc ∖ suc 𝐴))
64, 5mpan 689 . . . 4 (𝐴 ∈ On → 𝐴 (Inacc ∖ suc 𝐴))
76adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 (Inacc ∖ suc 𝐴))
8 simpr 488 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴))
97, 8eleqtrrd 2855 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴𝑥)
10 difss 4039 . . . . 5 (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ Inacc
1110, 4sstri 3903 . . . 4 (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On
12 inaprc 10309 . . . . . . 7 Inacc ∉ V
1312neli 3057 . . . . . 6 ¬ Inacc ∈ V
14 ssdif0 4264 . . . . . . 7 (Inacc ⊆ suc 𝐴 ↔ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
15 sucexg 7530 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
16 ssexg 5197 . . . . . . . . 9 ((Inacc ⊆ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V) → Inacc ∈ V)
1716expcom 417 . . . . . . . 8 (suc 𝐴 ∈ V → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
1914, 18syl5bir 246 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → ((Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅ → Inacc ∈ V))
2013, 19mtoi 202 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → ¬ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
2120neqned 2958 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅)
22 onint 7515 . . . 4 (((Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On ∧ (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅) → (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
2311, 21, 22sylancr 590 . . 3 (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
2423eldifad 3872 . 2 (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ Inacc)
259, 24rspcime 3547 1 (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  ∩ cint 4841  Oncon0 6174  suc csuc 6176  Inaccwcwina 10155  Inacccina 10156 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-ac2 9936  ax-groth 10296 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-smo 7999  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-oi 9020  df-har 9067  df-r1 9239  df-card 9414  df-aleph 9415  df-cf 9416  df-acn 9417  df-ac 9589  df-wina 10157  df-ina 10158  df-tsk 10222 This theorem is referenced by:  gruex  41424
 Copyright terms: Public domain W3C validator