Theorem inaex 44400

Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every ordinal is contained in an inaccessible ordinal. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
inaex	⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴 ∈ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem inaex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 10581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		winaon 10579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ On)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
4	3	ssriv 3933	. . . . 5 ⊢ Inacc ⊆ On
5		onmindif 6400	. . . . 5 ⊢ ((Inacc ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
6	4, 5	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
9	7, 8	eleqtrrd 2834	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑥)
10		difss 4083	. . . . 5 ⊢ (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ Inacc
11	10, 4	sstri 3939	. . . 4 ⊢ (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On
12		inaprc 10727	. . . . . . 7 ⊢ Inacc ∉ V
13	12	neli 3034	. . . . . 6 ⊢ ¬ Inacc ∈ V
14		ssdif0 4313	. . . . . . 7 ⊢ (Inacc ⊆ suc 𝐴 ↔ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
15		sucexg 7738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
16		ssexg 5259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Inacc ⊆ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V) → Inacc ∈ V)
17	16	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
19	14, 18	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅ → Inacc ∈ V))
20	13, 19	mtoi 199	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
21	20	neqned 2935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅)
22		onint 7723	. . . 4 ⊢ (((Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On ∧ (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅) → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
23	11, 21, 22	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
24	23	eldifad 3909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ Inacc)
25	9, 24	rspcime 3577	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴 ∈ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  ∩ cint 4895  Oncon0 6306  suc csuc 6308  Inacc_wcwina 10573  Inacccina 10574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-ac2 10354  ax-groth 10714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-smo 8266  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-oi 9396  df-har 9443  df-r1 9657  df-card 9832  df-aleph 9833  df-cf 9834  df-acn 9835  df-ac 10007  df-wina 10575  df-ina 10576  df-tsk 10640

This theorem is referenced by:  gruex  44401