Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inaex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inaex 43358
Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every ordinal is contained in an inaccessible ordinal. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
inaex (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem inaex
StepHypRef Expression
1 inawina 10687 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2 winaon 10685 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
43ssriv 3986 . . . . 5 Inacc ⊆ On
5 onmindif 6456 . . . . 5 ((Inacc ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 (Inacc ∖ suc 𝐴))
64, 5mpan 688 . . . 4 (𝐴 ∈ On → 𝐴 (Inacc ∖ suc 𝐴))
76adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 (Inacc ∖ suc 𝐴))
8 simpr 485 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴))
97, 8eleqtrrd 2836 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴𝑥)
10 difss 4131 . . . . 5 (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ Inacc
1110, 4sstri 3991 . . . 4 (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On
12 inaprc 10833 . . . . . . 7 Inacc ∉ V
1312neli 3048 . . . . . 6 ¬ Inacc ∈ V
14 ssdif0 4363 . . . . . . 7 (Inacc ⊆ suc 𝐴 ↔ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
15 sucexg 7795 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
16 ssexg 5323 . . . . . . . . 9 ((Inacc ⊆ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V) → Inacc ∈ V)
1716expcom 414 . . . . . . . 8 (suc 𝐴 ∈ V → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
1914, 18biimtrrid 242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → ((Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅ → Inacc ∈ V))
2013, 19mtoi 198 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → ¬ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
2120neqned 2947 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅)
22 onint 7780 . . . 4 (((Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On ∧ (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅) → (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
2311, 21, 22sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
2423eldifad 3960 . 2 (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ Inacc)
259, 24rspcime 3616 1 (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3945  wss 3948  c0 4322   cint 4950  Oncon0 6364  suc csuc 6366  Inaccwcwina 10679  Inacccina 10680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-groth 10820
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-smo 8348  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-har 9554  df-r1 9761  df-card 9936  df-aleph 9937  df-cf 9938  df-acn 9939  df-ac 10113  df-wina 10681  df-ina 10682  df-tsk 10746
This theorem is referenced by:  gruex  43359
  Copyright terms: Public domain W3C validator