Theorem inaex 45027

Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every ordinal is contained in an inaccessible ordinal. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
inaex	⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴 ∈ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem inaex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 10670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		winaon 10668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ On)
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
4	3	ssriv 3941	. . . . 5 ⊢ Inacc ⊆ On
5		onmindif 6455	. . . . 5 ⊢ ((Inacc ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
6	4, 5	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
8		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
9	7, 8	eleqtrrd 2866	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑥)
10		difss 4090	. . . . 5 ⊢ (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ Inacc
11	10, 4	sstri 3946	. . . 4 ⊢ (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On
12		inaprc 10816	. . . . . . 7 ⊢ Inacc ∉ V
13	12	neli 3066	. . . . . 6 ⊢ ¬ Inacc ∈ V
14		ssdif0 4321	. . . . . . 7 ⊢ (Inacc ⊆ suc 𝐴 ↔ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
15		sucexg 7800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
16		ssexg 5290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Inacc ⊆ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V) → Inacc ∈ V)
17	16	expcom 418	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
18	15, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
19	14, 18	biimtrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅ → Inacc ∈ V))
20	13, 19	mtoi 202	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
21	20	neqned 2965	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅)
22		onint 7785	. . . 4 ⊢ (((Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On ∧ (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅) → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
23	11, 21, 22	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
24	23	eldifad 3917	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ Inacc)
25	9, 24	rspcime 3586	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴 ∈ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∩ cint 4912  Oncon0 6360  suc csuc 6362  Inacc_wcwina 10662  Inacccina 10663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-ac2 10442  ax-groth 10803

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-smo 8329  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9468  df-har 9515  df-r1 9732  df-card 9921  df-aleph 9922  df-cf 9923  df-acn 9924  df-ac 10096  df-wina 10664  df-ina 10665  df-tsk 10729

This theorem is referenced by:  gruex  45028