Theorem hashinfxadd 14536

Description: The extended real addition of the size of an infinite set with the size of an arbitrary set yields plus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfxadd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +e (♯‘𝐵)) = +∞)

Proof of Theorem hashinfxadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 14493	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞))
2		df-nel 3062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	2	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((((♯‘𝐴) = +∞ ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) ↔ (((♯‘𝐴) = +∞ ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
4		pm5.61 1016	. . . . . . . 8 ⊢ ((((♯‘𝐴) = +∞ ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ↔ ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
5	3, 4	sylbb 222	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝐴) = +∞ ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
6	5	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)))
7	6	orcoms 886	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞) → ((♯‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)))
8	1, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)))
9	8	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
10	9	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
11		oveq1 7431	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐴) +e (♯‘𝐵)) = (+∞ +e (♯‘𝐵)))
12		hashxrcl 14508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
13		hashnemnf 14495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (♯‘𝐵) ≠ -∞)
14	12, 13	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ≠ -∞))
15	14	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ≠ -∞))
16		xaddpnf2 13364	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ≠ -∞) → (+∞ +e (♯‘𝐵)) = +∞)
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → (+∞ +e (♯‘𝐵)) = +∞)
18	11, 17	sylan9eqr 2817	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) ∧ (♯‘𝐴) = +∞) → ((♯‘𝐴) +e (♯‘𝐵)) = +∞)
19	18	expcom 419	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +e (♯‘𝐵)) = +∞))
20	19	adantr 486	. 2 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +e (♯‘𝐵)) = +∞))
21	10, 20	mpcom 39	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +e (♯‘𝐵)) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∉ wnel 3061  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  +∞cpnf 11347  -∞cmnf 11348  ℝ^*cxr 11349  ℕ₀cn0 12613   +_e cxad 13246  ♯chash 14481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-xadd 13249  df-hash 14482

This theorem is used by:  hashunx  14537