Theorem hashinfxadd 14398

Description: The extended real addition of the size of an infinite set with the size of an arbitrary set yields plus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfxadd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)

Proof of Theorem hashinfxadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 14355	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞))
2		df-nel 3062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	2	anbi2i 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((((♯‘𝐴) = +∞ ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) ↔ (((♯‘𝐴) = +∞ ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
4		pm5.61 1014	. . . . . . . 8 ⊢ ((((♯‘𝐴) = +∞ ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ↔ ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
5	3, 4	sylbb 221	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝐴) = +∞ ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
6	5	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)))
7	6	orcoms 883	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞) → ((♯‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)))
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)))
9	8	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
10	9	3adant2 1144	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0))
11		oveq1 7403	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = (+∞ +𝑒 (♯‘𝐵)))
12		hashxrcl 14370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
13		hashnemnf 14357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (♯‘𝐵) ≠ -∞)
14	12, 13	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ≠ -∞))
15	14	3ad2ant2 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ≠ -∞))
16		xaddpnf2 13230	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → (+∞ +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
18	11, 17	sylan9eqr 2819	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) ∧ (♯‘𝐴) = +∞) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
19	18	expcom 417	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞))
20	19	adantr 484	. 2 ⊢ (((♯‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞))
21	10, 20	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∉ wnel 3061  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  +∞cpnf 11213  -∞cmnf 11214  ℝ^*cxr 11215  ℕ₀cn0 12481   +_𝑒 cxad 13112  ♯chash 14343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-xadd 13115  df-hash 14344

This theorem is referenced by:  hashunx  14399