MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdmet 24529
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdmet ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 13044 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2 rpgt0 13047 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
31, 2jca 511 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4 stdbdmet.1 . . . . 5 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
54stdbdxmet 24528 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
653expb 1121 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
73, 6sylan2 593 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 xmetcl 24341 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
983expb 1121 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
109adantlr 715 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
111ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
1210, 11ifcld 4572 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ*)
13 rpre 13043 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
15 xmetge0 24354 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
16153expb 1121 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
1716adantlr 715 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
18 rpge0 13048 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
1918ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
20 breq2 5147 . . . . . . 7 ((𝑥𝐶𝑦) = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) → (0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ↔ 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
21 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝑅 = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
2220, 21ifboth 4565 . . . . . 6 ((0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
2317, 19, 22syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
24 xrmin2 13220 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)
2510, 11, 24syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)
26 xrrege0 13216 . . . . 5 (((if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∧ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
2712, 14, 23, 25, 26syl22anc 839 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
2827ralrimivva 3202 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
294fmpo 8093 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
3028, 29sylib 218 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
31 ismet2 24343 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
327, 30, 31sylanbrc 583 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  ifcif 4525   class class class wbr 5143   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11154  0cc0 11155  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  +crp 13034  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-xmet 21357  df-met 21358
This theorem is referenced by:  mopnex  24532  xlebnum  24997
  Copyright terms: Public domain W3C validator