MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdmet 24246
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdmet ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 12988 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
2 rpgt0 12991 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑅)
31, 2jca 511 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4 stdbdmet.1 . . . . 5 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
54stdbdxmet 24245 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
653expb 1119 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
73, 6sylan2 592 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8 xmetcl 24058 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
983expb 1119 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
109adantlr 712 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
111ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1210, 11ifcld 4574 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ*)
13 rpre 12987 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
15 xmetge0 24071 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
16153expb 1119 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
1716adantlr 712 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
18 rpge0 12992 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑅)
1918ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
20 breq2 5152 . . . . . . 7 ((π‘₯𝐢𝑦) = if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) β†’ (0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ↔ 0 ≀ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅)))
21 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑅 = if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) β†’ (0 ≀ 𝑅 ↔ 0 ≀ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅)))
2220, 21ifboth 4567 . . . . . 6 ((0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ 0 ≀ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
2317, 19, 22syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
24 xrmin2 13162 . . . . . 6 (((π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ≀ 𝑅)
2510, 11, 24syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ≀ 𝑅)
26 xrrege0 13158 . . . . 5 (((if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∧ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ≀ 𝑅)) β†’ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
2712, 14, 23, 25, 26syl22anc 836 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
2827ralrimivva 3199 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
294fmpo 8057 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
3028, 29sylib 217 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
31 ismet2 24060 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
327, 30, 31sylanbrc 582 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  ifcif 4528   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  β„cr 11112  0cc0 11113  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„+crp 12979  βˆžMetcxmet 21130  Metcmet 21131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-2 12280  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-icc 13336  df-xmet 21138  df-met 21139
This theorem is referenced by:  mopnex  24249  xlebnum  24712
  Copyright terms: Public domain W3C validator