MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdmet 24545
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdmet ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 13042 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2 rpgt0 13045 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
31, 2jca 511 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4 stdbdmet.1 . . . . 5 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
54stdbdxmet 24544 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
653expb 1119 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
73, 6sylan2 593 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 xmetcl 24357 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
983expb 1119 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
109adantlr 715 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
111ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
1210, 11ifcld 4577 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ*)
13 rpre 13041 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
15 xmetge0 24370 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
16153expb 1119 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
1716adantlr 715 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
18 rpge0 13046 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
1918ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
20 breq2 5152 . . . . . . 7 ((𝑥𝐶𝑦) = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) → (0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ↔ 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
21 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑅 = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
2220, 21ifboth 4570 . . . . . 6 ((0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
2317, 19, 22syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
24 xrmin2 13217 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)
2510, 11, 24syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)
26 xrrege0 13213 . . . . 5 (((if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∧ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
2712, 14, 23, 25, 26syl22anc 839 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
2827ralrimivva 3200 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
294fmpo 8092 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
3028, 29sylib 218 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
31 ismet2 24359 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
327, 30, 31sylanbrc 583 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  ifcif 4531   class class class wbr 5148   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11152  0cc0 11153  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  +crp 13032  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-xmet 21375  df-met 21376
This theorem is referenced by:  mopnex  24548  xlebnum  25011
  Copyright terms: Public domain W3C validator