MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmet Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem stdbdmet 24024
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdmet ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem stdbdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 12982 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
2 rpgt0 12985 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑅)
31, 2jca 512 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4 stdbdmet.1 . . . . 5 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
54stdbdxmet 24023 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
653expb 1120 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
73, 6sylan2 593 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8 xmetcl 23836 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
983expb 1120 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
109adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
111ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1210, 11ifcld 4574 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ*)
13 rpre 12981 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
15 xmetge0 23849 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
16153expb 1120 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
1716adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
18 rpge0 12986 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑅)
1918ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
20 breq2 5152 . . . . . . 7 ((π‘₯𝐢𝑦) = if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) β†’ (0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ↔ 0 ≀ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅)))
21 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑅 = if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) β†’ (0 ≀ 𝑅 ↔ 0 ≀ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅)))
2220, 21ifboth 4567 . . . . . 6 ((0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ 0 ≀ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
2317, 19, 22syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
24 xrmin2 13156 . . . . . 6 (((π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ≀ 𝑅)
2510, 11, 24syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ≀ 𝑅)
26 xrrege0 13152 . . . . 5 (((if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∧ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ≀ 𝑅)) β†’ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
2712, 14, 23, 25, 26syl22anc 837 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
2827ralrimivva 3200 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
294fmpo 8053 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
3028, 29sylib 217 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
31 ismet2 23838 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
327, 30, 31sylanbrc 583 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  ifcif 4528   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  β„cr 11108  0cc0 11109  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„+crp 12973  βˆžMetcxmet 20928  Metcmet 20929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-xmet 20936  df-met 20937
This theorem is referenced by:  mopnex  24027  xlebnum  24480
  Copyright terms: Public domain W3C validator