Theorem stdbdmet 24429

Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
stdbdmet	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12897	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		rpgt0 12900	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4		stdbdmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
5	4	stdbdxmet 24428	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	5	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	3, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		xmetcl 24244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
9	8	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
10	9	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
11	1	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
12	10, 11	ifcld 4522	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ*)
13		rpre 12896	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
15		xmetge0 24257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
16	15	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
17	16	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
18		rpge0 12901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
19	18	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
20		breq2 5095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐶𝑦) = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) → (0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ↔ 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
21		breq2 5095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
22	20, 21	ifboth 4515	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
23	17, 19, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
24		xrmin2 13074	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)
25	10, 11, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)
26		xrrege0 13070	. . . . 5 ⊢ (((if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∧ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ≤ 𝑅)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
27	12, 14, 23, 25, 26	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
28	27	ralrimivva 3175	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ)
29	4	fmpo 8000	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
30	28, 29	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
31		ismet2 24246	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
32	7, 30, 31	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ifcif 4475   class class class wbr 5091   × cxp 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  ℝcr 11002  0cc0 11003  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   ≤ cle 11144  ℝ⁺crp 12887  ∞Metcxmet 21274  Metcmet 21275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-2 12185  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-icc 13249  df-xmet 21282  df-met 21283

This theorem is referenced by:  mopnex  24432  xlebnum  24889