MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metnrmlem1 24791
Description: Lemma for metnrm 24794. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metnrmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metnrmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1xr 11301 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 metnrmlem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
32adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
54adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
6 eqid 2725 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
76cldss 22949 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
109mopnuni 24363 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
128, 11sseqtrrd 4014 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
13 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
1413metdsf 24780 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
153, 12, 14syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
16 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
1716adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
186cldss 22949 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2019, 11sseqtrrd 4014 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
21 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑇)
2220, 21sseldd 3973 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
2315, 22ffvelcdmd 7089 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
24 eliccxr 13442 . . . 4 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
26 ifcl 4569 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
271, 25, 26sylancr 585 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
28 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
2912, 28sseldd 3973 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
30 xmetcl 24253 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
313, 29, 22, 30syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
32 xrmin2 13187 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (πΉβ€˜π΅))
331, 25, 32sylancr 585 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (πΉβ€˜π΅))
3413metdstri 24783 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)))
353, 12, 22, 29, 34syl22anc 837 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)))
36 xmetsym 24269 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
373, 22, 29, 36syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
3813metds0 24782 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
393, 12, 28, 38syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
4037, 39oveq12d 7433 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0))
4131xaddridd 13252 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐡))
4240, 41eqtrd 2765 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)) = (𝐴𝐷𝐡))
4335, 42breqtrd 5169 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
4427, 25, 31, 33, 43xrletrd 13171 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  infcinf 9462  0cc0 11136  1c1 11137  +∞cpnf 11273  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277   +𝑒 cxad 13120  [,]cicc 13357  βˆžMetcxmet 21266  MetOpencmopn 21271  Clsdccld 22936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-ec 8723  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-icc 13361  df-topgen 17422  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-cld 22939
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  24793
  Copyright terms: Public domain W3C validator