Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1 23385
 Description: Lemma for metnrm 23388. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1xr 10692 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 metnrmlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
6 eqid 2825 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
76cldss 21556 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆 𝐽)
9 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
109mopnuni 22969 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑋 = 𝐽)
128, 11sseqtrrd 4011 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆𝑋)
13 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
1413metdsf 23374 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
153, 12, 14syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
16 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
186cldss 21556 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇 𝐽)
2019, 11sseqtrrd 4011 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇𝑋)
21 simprr 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐵𝑇)
2220, 21sseldd 3971 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐵𝑋)
2315, 22ffvelrnd 6847 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞))
24 eliccxr 12816 . . . 4 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
26 ifcl 4513 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
271, 25, 26sylancr 587 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
28 simprl 767 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐴𝑆)
2912, 28sseldd 3971 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐴𝑋)
30 xmetcl 22859 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
313, 29, 22, 30syl3anc 1365 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
32 xrmin2 12564 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐹𝐵))
331, 25, 32sylancr 587 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐹𝐵))
3413metdstri 23377 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐹𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)))
353, 12, 22, 29, 34syl22anc 836 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)))
36 xmetsym 22875 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
373, 22, 29, 36syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
3813metds0 23376 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
393, 12, 28, 38syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐴) = 0)
4037, 39oveq12d 7169 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0))
4131xaddid1d 12629 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
4240, 41eqtrd 2860 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)) = (𝐴𝐷𝐵))
4335, 42breqtrd 5088 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
4427, 25, 31, 33, 43xrletrd 12548 1 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  ifcif 4469  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5062   ↦ cmpt 5142  ran crn 5554  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  infcinf 8897  0cc0 10529  1c1 10530  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668   +𝑒 cxad 12498  [,]cicc 12734  ∞Metcxmet 20449  MetOpencmopn 20454  Clsdccld 21543 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-ec 8284  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-icc 12738  df-topgen 16710  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-top 21421  df-topon 21438  df-bases 21473  df-cld 21546 This theorem is referenced by:  metnrmlem3  23387
 Copyright terms: Public domain W3C validator