MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1 23385
Description: Lemma for metnrm 23388. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1xr 10692 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 metnrmlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
6 eqid 2825 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
76cldss 21556 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆 𝐽)
9 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
109mopnuni 22969 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑋 = 𝐽)
128, 11sseqtrrd 4011 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆𝑋)
13 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
1413metdsf 23374 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
153, 12, 14syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
16 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
186cldss 21556 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇 𝐽)
2019, 11sseqtrrd 4011 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇𝑋)
21 simprr 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐵𝑇)
2220, 21sseldd 3971 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐵𝑋)
2315, 22ffvelrnd 6847 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞))
24 eliccxr 12816 . . . 4 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
26 ifcl 4513 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
271, 25, 26sylancr 587 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
28 simprl 767 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐴𝑆)
2912, 28sseldd 3971 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐴𝑋)
30 xmetcl 22859 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
313, 29, 22, 30syl3anc 1365 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
32 xrmin2 12564 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐹𝐵))
331, 25, 32sylancr 587 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐹𝐵))
3413metdstri 23377 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐹𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)))
353, 12, 22, 29, 34syl22anc 836 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)))
36 xmetsym 22875 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
373, 22, 29, 36syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
3813metds0 23376 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
393, 12, 28, 38syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐴) = 0)
4037, 39oveq12d 7169 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0))
4131xaddid1d 12629 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
4240, 41eqtrd 2860 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)) = (𝐴𝐷𝐵))
4335, 42breqtrd 5088 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
4427, 25, 31, 33, 43xrletrd 12548 1 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cin 3938  wss 3939  c0 4294  ifcif 4469   cuni 4836   class class class wbr 5062  cmpt 5142  ran crn 5554  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  infcinf 8897  0cc0 10529  1c1 10530  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668   +𝑒 cxad 12498  [,]cicc 12734  ∞Metcxmet 20449  MetOpencmopn 20454  Clsdccld 21543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-ec 8284  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-icc 12738  df-topgen 16710  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-top 21421  df-topon 21438  df-bases 21473  df-cld 21546
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  23387
  Copyright terms: Public domain W3C validator