MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metnrmlem1 24730
Description: Lemma for metnrm 24733. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metnrmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metnrmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1xr 11277 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 metnrmlem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
32adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
6 eqid 2726 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
76cldss 22888 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
109mopnuni 24302 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
128, 11sseqtrrd 4018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
13 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
1413metdsf 24719 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
153, 12, 14syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
16 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
186cldss 22888 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2019, 11sseqtrrd 4018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
21 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑇)
2220, 21sseldd 3978 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
2315, 22ffvelcdmd 7081 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
24 eliccxr 13418 . . . 4 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
26 ifcl 4568 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
271, 25, 26sylancr 586 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
28 simprl 768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
2912, 28sseldd 3978 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
30 xmetcl 24192 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
313, 29, 22, 30syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
32 xrmin2 13163 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (πΉβ€˜π΅))
331, 25, 32sylancr 586 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (πΉβ€˜π΅))
3413metdstri 24722 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)))
353, 12, 22, 29, 34syl22anc 836 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)))
36 xmetsym 24208 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
373, 22, 29, 36syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
3813metds0 24721 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
393, 12, 28, 38syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
4037, 39oveq12d 7423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0))
4131xaddridd 13228 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐡))
4240, 41eqtrd 2766 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)) = (𝐴𝐷𝐡))
4335, 42breqtrd 5167 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
4427, 25, 31, 33, 43xrletrd 13147 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13096  [,]cicc 13333  βˆžMetcxmet 21225  MetOpencmopn 21230  Clsdccld 22875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  24732
  Copyright terms: Public domain W3C validator