MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1 24225
Description: Lemma for metnrm 24228. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metnrmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metnrmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1xr 11215 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 metnrmlem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
32adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
54adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
6 eqid 2737 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
76cldss 22383 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
109mopnuni 23797 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
128, 11sseqtrrd 3986 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
13 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
1413metdsf 24214 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
153, 12, 14syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
16 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
1716adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
186cldss 22383 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2019, 11sseqtrrd 3986 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
21 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑇)
2220, 21sseldd 3946 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
2315, 22ffvelcdmd 7037 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
24 eliccxr 13353 . . . 4 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
26 ifcl 4532 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
271, 25, 26sylancr 588 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
28 simprl 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
2912, 28sseldd 3946 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
30 xmetcl 23687 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
313, 29, 22, 30syl3anc 1372 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
32 xrmin2 13098 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (πΉβ€˜π΅))
331, 25, 32sylancr 588 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (πΉβ€˜π΅))
3413metdstri 24217 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)))
353, 12, 22, 29, 34syl22anc 838 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)))
36 xmetsym 23703 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
373, 22, 29, 36syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
3813metds0 24216 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
393, 12, 28, 38syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
4037, 39oveq12d 7376 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0))
4131xaddid1d 13163 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐡))
4240, 41eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)) = (𝐴𝐷𝐡))
4335, 42breqtrd 5132 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
4427, 25, 31, 33, 43xrletrd 13082 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  infcinf 9378  0cc0 11052  1c1 11053  +∞cpnf 11187  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191   +𝑒 cxad 13032  [,]cicc 13268  βˆžMetcxmet 20784  MetOpencmopn 20789  Clsdccld 22370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-ec 8651  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-icc 13272  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cld 22373
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  24227
  Copyright terms: Public domain W3C validator