MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metnrmlem1 24366
Description: Lemma for metnrm 24369. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metnrmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metnrmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1xr 11269 . . 3 1 ∈ ℝ*
2 metnrmlem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
32adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
6 eqid 2732 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
76cldss 22524 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
109mopnuni 23938 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
113, 10syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
128, 11sseqtrrd 4022 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
13 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
1413metdsf 24355 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
153, 12, 14syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
16 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
186cldss 22524 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
2019, 11sseqtrrd 4022 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
21 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑇)
2220, 21sseldd 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
2315, 22ffvelcdmd 7084 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
24 eliccxr 13408 . . . 4 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
26 ifcl 4572 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
271, 25, 26sylancr 587 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
28 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
2912, 28sseldd 3982 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
30 xmetcl 23828 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
313, 29, 22, 30syl3anc 1371 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
32 xrmin2 13153 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (πΉβ€˜π΅))
331, 25, 32sylancr 587 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (πΉβ€˜π΅))
3413metdstri 24358 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)))
353, 12, 22, 29, 34syl22anc 837 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)))
36 xmetsym 23844 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
373, 22, 29, 36syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
3813metds0 24357 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
393, 12, 28, 38syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
4037, 39oveq12d 7423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0))
4131xaddridd 13218 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐡))
4240, 41eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) +𝑒 (πΉβ€˜π΄)) = (𝐴𝐷𝐡))
4335, 42breqtrd 5173 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
4427, 25, 31, 33, 43xrletrd 13137 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π΅), 1, (πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  infcinf 9432  0cc0 11106  1c1 11107  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   +𝑒 cxad 13086  [,]cicc 13323  βˆžMetcxmet 20921  MetOpencmopn 20926  Clsdccld 22511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cld 22514
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  24368
  Copyright terms: Public domain W3C validator