MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfregs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfregs2 9764
Description: Alternate strong form of the Axiom of Regularity. Not every element of a nonempty class contains some element of that class. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 27-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2
StepHypRef Expression
1 zfregs 9763 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
2 incom 4203 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴) = (𝐴𝑥)
32eqeq1i 2733 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴) = ∅ ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
43rexbii 3091 . . . . . 6 (∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
51, 4sylib 217 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
6 disj1 4454 . . . . . 6 ((𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
76rexbii 3091 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
85, 7sylib 217 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
9 alinexa 1837 . . . . 5 (∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
109rexbii 3091 . . . 4 (∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
118, 10sylib 217 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
12 dfrex2 3070 . . 3 (∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1311, 12sylib 217 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
14 notnotb 314 . . 3 (∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1514ralbii 3090 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1613, 15sylnibr 328 1 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wal 1531   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cin 3948  c0 4326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-reg 9623  ax-inf2 9672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437
This theorem is referenced by:  en3lpVD  44315
  Copyright terms: Public domain W3C validator