Theorem zfregs2 9654

Description: Alternate strong form of the Axiom of Regularity. Not every element of a nonempty class contains some element of that class. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 27-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
zfregs2	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregs 9653	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)
2		incom 4163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝑥)
3	2	eqeq1i 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅)
4	3	rexbii 3085	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅)
5	1, 4	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅)
6		disj1 4406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
7	6	rexbii 3085	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
8	5, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
9		alinexa 1845	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
10	9	rexbii 3085	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
11	8, 10	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
12		dfrex2 3065	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
13	11, 12	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
14		notnotb 315	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
15	14	ralbii 3084	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
16	13, 15	sylnibr 329	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3902  ∅c0 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-reg 9509  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351

This theorem is referenced by:  axregs  35317  en3lpVD  45200