Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfregs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfregs2 9177
 Description: Alternate strong form of the Axiom of Regularity. Not every element of a nonempty class contains some element of that class. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 27-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2
StepHypRef Expression
1 zfregs 9176 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
2 incom 4131 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴) = (𝐴𝑥)
32eqeq1i 2803 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴) = ∅ ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
43rexbii 3211 . . . . . 6 (∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
51, 4sylib 221 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
6 disj1 4361 . . . . . 6 ((𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
76rexbii 3211 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
85, 7sylib 221 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
9 alinexa 1844 . . . . 5 (∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
109rexbii 3211 . . . 4 (∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
118, 10sylib 221 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
12 dfrex2 3202 . . 3 (∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1311, 12sylib 221 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
14 notnotb 318 . . 3 (∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1514ralbii 3133 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1613, 15sylnibr 332 1 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∩ cin 3882  ∅c0 4246 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-reg 9058  ax-inf2 9106 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-om 7574  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047 This theorem is referenced by:  en3lpVD  41722
 Copyright terms: Public domain W3C validator