Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  en3lpVD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en3lpVD 39830
Description: Virtual deduction proof of en3lp 8758. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
en3lpVD ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)

Proof of Theorem en3lpVD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2.1 921 . . 3 (¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
2 df-ne 2971 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
32bicomi 216 . . . 4 (¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
43orbi1i 938 . . 3 ((¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅))
51, 4mpbi 222 . 2 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
6 zfregs2 8858 . . . 4 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥))
7 en3lplem2VD 39829 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥)))
87alrimiv 2023 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥)))
9 df-ral 3093 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥)))
108, 9sylibr 226 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥))
1110con3i 152 . . . 4 (¬ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦𝑥) → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
126, 11syl 17 . . 3 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
13 idn1 39549 . . . . . . 7 (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   )
14 noel 4118 . . . . . . 7 ¬ 𝐶 ∈ ∅
15 eleq2 2866 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝐶 ∈ ∅))
1615notbid 310 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ¬ 𝐶 ∈ ∅))
1716biimprd 240 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (¬ 𝐶 ∈ ∅ → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}))
1813, 14, 17e10 39678 . . . . . 6 (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}   )
19 tpid3g 4493 . . . . . . 7 (𝐶𝐴𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
2019con3i 152 . . . . . 6 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ¬ 𝐶𝐴)
2118, 20e1a 39611 . . . . 5 (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ 𝐶𝐴   )
22 simp3 1169 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐶𝐴)
2322con3i 152 . . . . 5 𝐶𝐴 → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
2421, 23e1a 39611 . . . 4 (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)   )
2524in1 39546 . . 3 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
2612, 25jaoi 884 . 2 (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅) → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
275, 26ax-mp 5 1 ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  wo 874  w3a 1108  wal 1651   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wne 2970  wral 3088  c0 4114  {ctp 4371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-reg 8738  ax-inf2 8787
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-om 7299  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-vd1 39545  df-vd2 39553  df-vd3 39565
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator