Theorem en3lpVD 44877

Description: Virtual deduction proof of en3lp 9499. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
en3lpVD	⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem en3lpVD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 896	. . 3 ⊢ (¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
2		df-ne 2929	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
3	2	bicomi 224	. . . 4 ⊢ (¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
4	3	orbi1i 913	. . 3 ⊢ ((¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅))
5	1, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
6		zfregs2 9618	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
7		en3lplem2VD 44876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	7	alrimiv 1928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
9		df-ral 3048	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
10	8, 9	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
11	10	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
12	6, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
13		idn1 44607	. . . . . . 7 ⊢ (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   )
14		noel 4283	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐶 ∈ ∅
15		eleq2 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝐶 ∈ ∅))
16	15	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ¬ 𝐶 ∈ ∅))
17	16	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (¬ 𝐶 ∈ ∅ → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}))
18	13, 14, 17	e10 44727	. . . . . 6 ⊢ (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}   )
19		tpid3g 4720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
20	19	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
21	18, 20	e1a 44660	. . . . 5 ⊢ (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ 𝐶 ∈ 𝐴   )
22		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐴)
23	22	con3i 154	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
24	21, 23	e1a 44660	. . . 4 ⊢ (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)   )
25	24	in1 44604	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
26	12, 25	jaoi 857	. 2 ⊢ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
27	5, 26	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∅c0 4278  {ctp 4575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-reg 9473  ax-inf2 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-vd1 44603  df-vd2 44611  df-vd3 44623

This theorem is referenced by: (None)