Theorem en3lpVD 45611

Description: Virtual deduction proof of en3lp 9590. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
en3lpVD	⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem en3lpVD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 910	. . 3 ⊢ (¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
2		df-ne 2961	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
3	2	bicomi 227	. . . 4 ⊢ (¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
4	3	orbi1i 927	. . 3 ⊢ ((¬ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅))
5	1, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅)
6		zfregs2 9709	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
7		en3lplem2VD 45610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
8	7	alrimiv 1960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
9		df-ral 3082	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
10	8, 9	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
11	10	con3i 155	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}∃𝑦(𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
12	6, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
13		idn1 45341	. . . . . . 7 ⊢ (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   )
14		noel 4291	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐶 ∈ ∅
15		eleq2 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ 𝐶 ∈ ∅))
16	15	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ¬ 𝐶 ∈ ∅))
17	16	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → (¬ 𝐶 ∈ ∅ → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}))
18	13, 14, 17	e10 45461	. . . . . 6 ⊢ (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}   )
19		tpid3g 4740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
20	19	con3i 155	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
21	18, 20	e1a 45394	. . . . 5 ⊢ (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ 𝐶 ∈ 𝐴   )
22		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐴)
23	22	con3i 155	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
24	21, 23	e1a 45394	. . . 4 ⊢ (   {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅   ▶    ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)   )
25	24	in1 45338	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅ → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
26	12, 25	jaoi 871	. 2 ⊢ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ≠ ∅ ∨ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ∅) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
27	5, 26	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∅c0 4286  {ctp 4595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-reg 9561  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-vd1 45337  df-vd2 45345  df-vd3 45357

This theorem is used by: (None)