New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  braddcfn GIF version

 Description: Binary relationship form of the AddC function. (Contributed by SF, 2-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
2 braddcfn.1 . . . 4 A V
3 braddcfn.2 . . . 4 B V
42, 3opex 4588 . . 3 A, B V
5 fnbrfvb 5358 . . 3 (( AddC Fn V A, B V) → (( AddCA, B) = CA, B AddC C))
61, 4, 5mp2an 653 . 2 (( AddCA, B) = CA, B AddC C)
7 df-ov 5526 . . . 4 (A AddC B) = ( AddCA, B)
8 addceq1 4383 . . . . . 6 (x = A → (x +c y) = (A +c y))
9 addceq2 4384 . . . . . 6 (y = B → (A +c y) = (A +c B))
10 df-addcfn 5746 . . . . . 6 AddC = (x V, y V (x +c y))
112, 3addcex 4394 . . . . . 6 (A +c B) V
128, 9, 10, 11ovmpt2 5716 . . . . 5 ((A V B V) → (A AddC B) = (A +c B))
132, 3, 12mp2an 653 . . . 4 (A AddC B) = (A +c B)
147, 13eqtr3i 2375 . . 3 ( AddCA, B) = (A +c B)
1514eqeq1i 2360 . 2 (( AddCA, B) = C ↔ (A +c B) = C)
166, 15bitr3i 242 1 (A, B AddC C ↔ (A +c B) = C)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 176   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   +c cplc 4375  ⟨cop 4561   class class class wbr 4639   Fn wfn 4776   ‘cfv 4781  (class class class)co 5525   AddC caddcfn 5745 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fo 4793  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-addcfn 5746 This theorem is referenced by:  csucex  6259  addccan2nclem1  6263  nncdiv3lem1  6275  nncdiv3lem2  6276  nnc3n3p1  6278  nchoicelem16  6304
 Copyright terms: Public domain W3C validator