Theorem braddcfn 5827

Description: Binary relationship form of the AddC function. (Contributed by SF, 2-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
braddcfn.1	⊢ A ∈ V
braddcfn.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
braddcfn	⊢ (⟨A, B⟩ AddC C ↔ (A +c B) = C)

Proof of Theorem braddcfn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcfn 5826	. . 3 ⊢ AddC Fn V
2		braddcfn.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
3		braddcfn.2	. . . 4 ⊢ B ∈ V
4	2, 3	opex 4589	. . 3 ⊢ ⟨A, B⟩ ∈ V
5		fnbrfvb 5359	. . 3 ⊢ (( AddC Fn V ∧ ⟨A, B⟩ ∈ V) → (( AddC ‘⟨A, B⟩) = C ↔ ⟨A, B⟩ AddC C))
6	1, 4, 5	mp2an 653	. 2 ⊢ (( AddC ‘⟨A, B⟩) = C ↔ ⟨A, B⟩ AddC C)
7		df-ov 5527	. . . 4 ⊢ (A AddC B) = ( AddC ‘⟨A, B⟩)
8		addceq1 4384	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (x +c y) = (A +c y))
9		addceq2 4385	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (A +c y) = (A +c B))
10		df-addcfn 5747	. . . . . 6 ⊢ AddC = (x ∈ V, y ∈ V ↦ (x +c y))
11	2, 3	addcex 4395	. . . . . 6 ⊢ (A +c B) ∈ V
12	8, 9, 10, 11	ovmpt2 5717	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (A AddC B) = (A +c B))
13	2, 3, 12	mp2an 653	. . . 4 ⊢ (A AddC B) = (A +c B)
14	7, 13	eqtr3i 2375	. . 3 ⊢ ( AddC ‘⟨A, B⟩) = (A +c B)
15	14	eqeq1i 2360	. 2 ⊢ (( AddC ‘⟨A, B⟩) = C ↔ (A +c B) = C)
16	6, 15	bitr3i 242	1 ⊢ (⟨A, B⟩ AddC C ↔ (A +c B) = C)

Syntax hints:   ↔ wb 176   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860   +_c cplc 4376  ⟨cop 4562   class class class wbr 4640   Fn wfn 4777   ‘cfv 4782  (class class class)co 5526   AddC caddcfn 5746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3972  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-fo 4794  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-addcfn 5747

This theorem is referenced by:  csucex  6260  addccan2nclem1  6264  nncdiv3lem1  6276  nncdiv3lem2  6277  nnc3n3p1  6279  nchoicelem16  6305