Theorem 1loopgrvd0fi 16112

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd2fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
1loopgrvd0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd0fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem 1loopgrvd0fi

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgrvd0.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
2	1	eldifbd 3210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑁})
3		1loopgruspgr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
5		snexg 4272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ∈ V)
7		fvsng 5845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝑁} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
9	8	eleq2d 2299	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) ↔ 𝐾 ∈ {𝑁}))
10	2, 9	mtbird 677	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
11		1loopgruspgr.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
12	11	dmeqd 4931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
13		dmsnopg 5206	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
14	6, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
15	12, 14	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
16	11	fveq1d 5637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖))
17	16	eleq2d 2299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
18	15, 17	rexeqbidv 2745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
19		fveq2 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
20	19	eleq2d 2299	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐴 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
21	20	rexsng 3708	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
22	3, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
23	18, 22	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
24	10, 23	mtbird 677	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖))
25		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
26		eqid 2229	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
27		eqid 2229	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
28		snfig 6984	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
29	3, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
30	15, 29	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
31		1loopgruspgr.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
32		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
33	31, 32	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
34	1	eldifad 3209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
35	34, 31	eleqtrrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
36	31, 3, 4, 11	1loopgruspgr 16109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
37		uspgrupgr 16020	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
38	36, 37	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
39	25, 26, 27, 30, 33, 35, 38	vtxd0nedgbfi 16105	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
40	24, 39	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  Vcvv 2800   ∖ cdif 3195  {csn 3667  ⟨cop 3670  dom cdm 4723  ‘cfv 5324  Fincfn 6904  0cc0 8022  Vtxcvtx 15853  iEdgciedg 15854  UPGraphcupgr 15932  USPGraphcuspgr 15992  VtxDegcvtxdg 16092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602  df-uz 9746  df-xadd 9998  df-fz 10234  df-ihash 11028  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-edgf 15846  df-vtx 15855  df-iedg 15856  df-upgren 15934  df-uspgren 15994  df-vtxdg 16093

This theorem is referenced by: (None)