Theorem 1loopgrvd0fi 16301

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd2fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
1loopgrvd0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd0fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem 1loopgrvd0fi

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgrvd0.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
2	1	eldifbd 3223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑁})
3		1loopgruspgr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
5		snexg 4297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ∈ V)
7		fvsng 5880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝑁} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
9	8	eleq2d 2302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) ↔ 𝐾 ∈ {𝑁}))
10	2, 9	mtbird 680	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
11		1loopgruspgr.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
12	11	dmeqd 4958	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
13		dmsnopg 5234	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
14	6, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
15	12, 14	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
16	11	fveq1d 5672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖))
17	16	eleq2d 2302	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
18	15, 17	rexeqbidv 2758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
19		fveq2 5670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
20	19	eleq2d 2302	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐴 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
21	20	rexsng 3730	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
22	3, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
23	18, 22	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
24	10, 23	mtbird 680	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖))
25		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
26		eqid 2232	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
27		eqid 2232	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
28		snfig 7056	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
29	3, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
30	15, 29	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
31		1loopgruspgr.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
32		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
33	31, 32	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
34	1	eldifad 3222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
35	34, 31	eleqtrrd 2312	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
36	31, 3, 4, 11	1loopgruspgr 16298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
37		uspgrupgr 16176	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
38	36, 37	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
39	25, 26, 27, 30, 33, 35, 38	vtxd0nedgbfi 16294	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
40	24, 39	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521  Vcvv 2813   ∖ cdif 3208  {csn 3689  ⟨cop 3692  dom cdm 4749  ‘cfv 5352  Fincfn 6975  0cc0 8127  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  UPGraphcupgr 16086  USPGraphcuspgr 16148  VtxDegcvtxdg 16281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-xadd 10106  df-fz 10343  df-ihash 11139  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-upgren 16088  df-uspgren 16150  df-vtxdg 16282

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16465