Theorem 2lgsoddprmlem3 16230

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsdir2lem3 16149	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2		eleq1 2301	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
3	2	eqcoms 2241	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
4		elun 3370	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ (𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}))
5		elpri 3732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ {3, 5} → (𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5))
6		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 = 3 → (𝑅↑2) = (3↑2))
7	6	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = 3 → ((𝑅↑2) − 1) = ((3↑2) − 1))
8	7	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((3↑2) − 1) / 8))
9		2lgsoddprmlem3b 16227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((3↑2) − 1) / 8) = 1
10	8, 9	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 1)
11	10	breq2d 4142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 1))
12		n2dvds1 12679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
13	12	pm2.21i 655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 1 → 𝑅 ∈ {1, 7})
14	11, 13	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
15		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 = 5 → (𝑅↑2) = (5↑2))
16	15	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = 5 → ((𝑅↑2) − 1) = ((5↑2) − 1))
17	16	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = 5 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((5↑2) − 1) / 8))
18	17	breq2d 4142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8)))
19		2lgsoddprmlem3c 16228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3
20	19	breq2i 4138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3)
21	18, 20	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3))
22		n2dvds3 12682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
23	22	pm2.21i 655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 3 → 𝑅 ∈ {1, 7})
24	21, 23	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
25	14, 24	jaoi 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
26	5, 25	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ {3, 5} → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
27	26	jao1i 808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
28	4, 27	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
29		elpri 3732	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ {1, 7} → (𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7))
30		z0even 12678	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 0
31		oveq1 6092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 1 → (𝑅↑2) = (1↑2))
32	31	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 1 → ((𝑅↑2) − 1) = ((1↑2) − 1))
33	32	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((1↑2) − 1) / 8))
34		2lgsoddprmlem3a 16226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1↑2) − 1) / 8) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 0)
36	30, 35	breqtrrid 4168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 1 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
37		2z 9672	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		3z 9673	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
39		dvdsmul1 12580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 3))
40	37, 38, 39	mp2an 430	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ (2 · 3)
41		oveq1 6092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 7 → (𝑅↑2) = (7↑2))
42	41	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 7 → ((𝑅↑2) − 1) = ((7↑2) − 1))
43	42	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((7↑2) − 1) / 8))
44		2lgsoddprmlem3d 16229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
45	43, 44	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (2 · 3))
46	40, 45	breqtrrid 4168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 7 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
47	36, 46	jaoi 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7) → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
48	29, 47	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ {1, 7} → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
49	28, 48	impbid1 142	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
50	3, 49	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
51	1, 50	syl5com 29	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
52	51	3impia 1231	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {cpr 3710   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   − cmin 8497   / cdiv 9002  2c2 9355  3c3 9356  5c5 9358  7c7 9360  8c8 9361  ℤcz 9644   mod cmo 10759  ↑cexp 10975   ∥ cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-dvds 12555

This theorem is used by:  2lgsoddprmlem4  16231