Theorem bernneq3 10884

Description: A corollary of bernneq 10882. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq3	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃↑𝑁))

Proof of Theorem bernneq3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9378	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		peano2re 8282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5		eluzelre 9732	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
6		reexpcl 10778	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℝ)
8	2	ltp1d 9077	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
9		uz2m1nn 9800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
10	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
11	10	nnred 9123	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
12	11, 2	remulcld 8177	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ)
13		peano2re 8282	. . . 4 ⊢ (((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
15		1red 8161	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
16		nn0ge0 9394	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
17	16	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
18	10	nnge1d 9153	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑃 − 1))
19	2, 11, 17, 18	lemulge12d 9085	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ ((𝑃 − 1) · 𝑁))
20	2, 12, 15, 19	leadd1dd 8706	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1))
21	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
22		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		eluzge2nn0 9764	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ0)
24		nn0ge0 9394	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑃)
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝑃)
26	25	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑃)
27		bernneq2 10883	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑃) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃↑𝑁))
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃↑𝑁))
29	4, 14, 7, 20, 28	letrd 8270	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑃↑𝑁))
30	2, 4, 7, 8, 29	ltletrd 8570	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℝcr 7998  0cc0 7999  1c1 8000   + caddc 8002   · cmul 8004   < clt 8181   ≤ cle 8182   − cmin 8317  ℕcn 9110  2c2 9161  ℕ₀cn0 9369  ℤ_≥cuz 9722  ↑cexp 10760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670  df-exp 10761

This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11530  resqrexlemga  11534  bitsfzo  12466  bitsinv1  12473  pw2dvds  12688  pcfaclem  12872  pcfac  12873  cvgcmp2nlemabs  16400  trilpolemlt1  16409