ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bernneq3 GIF version

Theorem bernneq3 10788
Description: A corollary of bernneq 10786. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃𝑁))

Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 9286 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
21adantl 277 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 peano2re 8190 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 14 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5 eluzelre 9640 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
6 reexpcl 10682 . . 3 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
75, 6sylan 283 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
82ltp1d 8985 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
9 uz2m1nn 9708 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
109adantr 276 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
1110nnred 9031 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
1211, 2remulcld 8085 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ)
13 peano2re 8190 . . . 4 (((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 14 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
15 1red 8069 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
16 nn0ge0 9302 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
1716adantl 277 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
1810nnge1d 9061 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑃 − 1))
192, 11, 17, 18lemulge12d 8993 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ ((𝑃 − 1) · 𝑁))
202, 12, 15, 19leadd1dd 8614 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1))
215adantr 276 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
22 simpr 110 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 eluzge2nn0 9672 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ0)
24 nn0ge0 9302 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑃)
2523, 24syl 14 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑃)
2625adantr 276 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑃)
27 bernneq2 10787 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑃) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃𝑁))
2821, 22, 26, 27syl3anc 1249 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃𝑁))
294, 14, 7, 20, 28letrd 8178 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑃𝑁))
302, 4, 7, 8, 29ltletrd 8478 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2175   class class class wbr 4043  cfv 5268  (class class class)co 5934  cr 7906  0cc0 7907  1c1 7908   + caddc 7910   · cmul 7912   < clt 8089  cle 8090  cmin 8225  cn 9018  2c2 9069  0cn0 9277  cuz 9630  cexp 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-seqfrec 10574  df-exp 10665
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11249  resqrexlemga  11253  bitsfzo  12185  bitsinv1  12192  pw2dvds  12407  pcfaclem  12591  pcfac  12592  cvgcmp2nlemabs  15835  trilpolemlt1  15844
  Copyright terms: Public domain W3C validator