Theorem dec5nprm 12989

Description: A decimal number greater than 10 and ending with five is not a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec5nprm.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
dec5nprm	⊢ ¬ ;𝐴5 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9305	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		dec5nprm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 9165	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℕ
4		peano2nn 9155	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ
6		5nn 9308	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
7		1nn0 9418	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		1lt2 9313	. . 3 ⊢ 1 < 2
9	1, 2, 7, 7, 8	numlti 9647	. 2 ⊢ 1 < ((2 · 𝐴) + 1)
10		1lt5 9322	. 2 ⊢ 1 < 5
11	1	nncni 9153	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	2	nncni 9153	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
13		5cn 9223	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
14	11, 12, 13	mul32i 8326	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) · 5) = ((2 · 5) · 𝐴)
15		5t2e10 9710	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
16	13, 11, 15	mulcomli 8186	. . . . . 6 ⊢ (2 · 5) = ;10
17	16	oveq1i 6028	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) · 𝐴) = (;10 · 𝐴)
18	14, 17	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝐴) · 5) = (;10 · 𝐴)
19	13	mullidi 8182	. . . 4 ⊢ (1 · 5) = 5
20	18, 19	oveq12i 6030	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5)) = ((;10 · 𝐴) + 5)
21	3	nncni 9153	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
22		ax-1cn 8125	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
23	21, 22, 13	adddiri 8190	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5))
24		dfdec10 9614	. . 3 ⊢ ;𝐴5 = ((;10 · 𝐴) + 5)
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2262	. 2 ⊢ (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = ;𝐴5
26	5, 6, 9, 10, 25	nprmi 12698	1 ⊢ ¬ ;𝐴5 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037  ℕcn 9143  2c2 9194  5c5 9197  ;cdc 9611  ℙcprime 12681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-dvds 12351  df-prm 12682

This theorem is referenced by: (None)