Theorem konigsberg 16939

Description: The Königsberg Bridge problem. If G is the Königsberg graph, i.e. a graph on four vertices 0 , 1 , 2 , 3, with edges { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 0 , 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 2 , 3 }, then vertices 0 , 1 , 3 each have degree three, and 2 has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eulerpathum 16927 the graph cannot have an Eulerian path. It is sufficient to show that there are 3 vertices of odd degree, since a graph having an Eulerian path can only have 0 or 2 vertices of odd degree. This is Metamath 100 proof #54. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberg	|- (EulerPaths ` G ) = (/)

Proof of Theorem konigsberg

Dummy variables x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . . . 5 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsberglem5 16938	. . . 4 |- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
5		elpri 3732	. . . . 5 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } -> ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 \/ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 ) )
6		2pos 9404	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
7		0re 8332	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
8		2re 9383	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
9	7, 8	ltnsymi 8432	. . . . . . . 8 |- ( 0 < 2 -> -. 2 < 0 )
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -. 2 < 0
11		breq2 4135	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 2 < 0 ) )
12	10, 11	mtbiri 686	. . . . . 6 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
13	8	ltnri 8425	. . . . . . 7 |- -. 2 < 2
14		breq2 4135	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 2 < 2 ) )
15	13, 14	mtbiri 686	. . . . . 6 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
16	12, 15	jaoi 728	. . . . 5 |- ( ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 \/ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 ) -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
17	5, 16	syl 14	. . . 4 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
18	4, 17	mt2 649	. . 3 |- -. (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 }
19	1, 2, 3	konigsbergumgr 16933	. . . 4 |- G e. UMGraph
20		0z 9666	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
21		3z 9684	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
22		fzfig 10888	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
23	20, 21, 22	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
24	1, 23	eqeltri 2311	. . . 4 |- V e. Fin
25	3	fveq2i 5701	. . . . . 6 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` <. V , E >. )
26	24	elexi 2834	. . . . . . 7 |- V e. _V
27		0nn0 9589	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
28		1nn0 9590	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN0
29		prexg 4351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
30	27, 28, 29	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 1 } e. _V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
32		2nn0 9591	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
33		prexg 4351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 0 , 2 } e. _V )
34	27, 32, 33	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 2 } e. _V
35	34	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
36		3nn0 9592	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. NN0
37		prexg 4351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 0 , 3 } e. _V )
38	27, 36, 37	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 3 } e. _V
39	38	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
40		prexg 4351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 1 , 2 } e. _V )
41	28, 32, 40	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 1 , 2 } e. _V
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
43		prexg 4351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 2 , 3 } e. _V )
44	32, 36, 43	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 2 , 3 } e. _V
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
46	31, 35, 39, 42, 42, 45, 45	s7cld 11577	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
47	46	mptru 1411	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
48	2, 47	eqeltri 2311	. . . . . . 7 |- E e. Word _V
49		opvtxfv 16468	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. Word _V ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )
50	26, 48, 49	mp2an 430	. . . . . 6 |- (Vtx ` <. V , E >. ) = V
51	25, 50	eqtr2i 2260	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
52	51	eulerpathum 16927	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
53	19, 24, 52	mp3an13 1369	. . 3 |- ( E. j j e. (EulerPaths ` G ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
54	18, 53	mto 672	. 2 |- -. E. j j e. (EulerPaths ` G )
55		notm0 3542	. 2 |- ( -. E. j j e. (EulerPaths ` G ) <-> (EulerPaths ` G ) = (/) )
56	54, 55	mpbi 145	1 |- (EulerPaths ` G ) = (/)

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   \/ wo 720   = wceq 1402   T. wtru 1403   E.wex 1545   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   0cc0 8185   1c1 8186   < clt 8366   2c2 9364   3c3 9365   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ...cfz 10428  ♯chash 11236  Word cword 11326   <"cs7 11548   || cdvds 12579  Vtxcvtx 16458  UMGraphcumgr 16538  VtxDegcvtxdg 16732  EulerPathsceupth 16888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xadd 10192  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381  df-s1 11406  df-s2 11550  df-s3 11551  df-s4 11552  df-s5 11553  df-s6 11554  df-s7 11555  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-edg 16504  df-uhgrm 16515  df-ushgrm 16516  df-upgren 16539  df-umgren 16540  df-uspgren 16601  df-subgr 16700  df-vtxdg 16733  df-wlks 16764  df-trls 16827  df-eupth 16889

This theorem is used by: (None)