Theorem konigsberg 16488

Description: The Königsberg Bridge problem. If G is the Königsberg graph, i.e. a graph on four vertices 0 , 1 , 2 , 3, with edges { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 0 , 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 2 , 3 }, then vertices 0 , 1 , 3 each have degree three, and 2 has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eulerpathum 16476 the graph cannot have an Eulerian path. It is sufficient to show that there are 3 vertices of odd degree, since a graph having an Eulerian path can only have 0 or 2 vertices of odd degree. This is Metamath 100 proof #54. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberg	|- (EulerPaths ` G ) = (/)

Proof of Theorem konigsberg

Dummy variables x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . . . 5 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsberglem5 16487	. . . 4 |- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
5		elpri 3712	. . . . 5 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } -> ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 \/ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 ) )
6		2pos 9328	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
7		0re 8274	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
8		2re 9307	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
9	7, 8	ltnsymi 8373	. . . . . . . 8 |- ( 0 < 2 -> -. 2 < 0 )
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -. 2 < 0
11		breq2 4113	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 2 < 0 ) )
12	10, 11	mtbiri 682	. . . . . 6 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
13	8	ltnri 8366	. . . . . . 7 |- -. 2 < 2
14		breq2 4113	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 2 < 2 ) )
15	13, 14	mtbiri 682	. . . . . 6 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
16	12, 15	jaoi 724	. . . . 5 |- ( ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 \/ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 ) -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
17	5, 16	syl 14	. . . 4 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
18	4, 17	mt2 645	. . 3 |- -. (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 }
19	1, 2, 3	konigsbergumgr 16482	. . . 4 |- G e. UMGraph
20		0z 9588	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
21		3z 9606	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
22		fzfig 10792	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
23	20, 21, 22	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
24	1, 23	eqeltri 2305	. . . 4 |- V e. Fin
25	3	fveq2i 5673	. . . . . 6 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` <. V , E >. )
26	24	elexi 2826	. . . . . . 7 |- V e. _V
27		0nn0 9511	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
28		1nn0 9512	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN0
29		prexg 4325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
30	27, 28, 29	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 1 } e. _V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
32		2nn0 9513	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
33		prexg 4325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 0 , 2 } e. _V )
34	27, 32, 33	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 2 } e. _V
35	34	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
36		3nn0 9514	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. NN0
37		prexg 4325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 0 , 3 } e. _V )
38	27, 36, 37	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 3 } e. _V
39	38	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
40		prexg 4325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 1 , 2 } e. _V )
41	28, 32, 40	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- { 1 , 2 } e. _V
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
43		prexg 4325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 2 , 3 } e. _V )
44	32, 36, 43	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- { 2 , 3 } e. _V
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
46	31, 35, 39, 42, 42, 45, 45	s7cld 11475	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
47	46	mptru 1407	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
48	2, 47	eqeltri 2305	. . . . . . 7 |- E e. Word _V
49		opvtxfv 16017	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. Word _V ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )
50	26, 48, 49	mp2an 426	. . . . . 6 |- (Vtx ` <. V , E >. ) = V
51	25, 50	eqtr2i 2254	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
52	51	eulerpathum 16476	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
53	19, 24, 52	mp3an13 1365	. . 3 |- ( E. j j e. (EulerPaths ` G ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
54	18, 53	mto 668	. 2 |- -. E. j j e. (EulerPaths ` G )
55		notm0 3529	. 2 |- ( -. E. j j e. (EulerPaths ` G ) <-> (EulerPaths ` G ) = (/) )
56	54, 55	mpbi 145	1 |- (EulerPaths ` G ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   \/ wo 716   = wceq 1398   T. wtru 1399   E.wex 1541   e. wcel 2203   {crab 2524   _Vcvv 2813   (/)c0 3508   {cpr 3690   <.cop 3692   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Fincfn 6975   0cc0 8127   1c1 8128   < clt 8308   2c2 9288   3c3 9289   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   ...cfz 10342  ♯chash 11138  Word cword 11224   <"cs7 11446   || cdvds 12473  Vtxcvtx 16007  UMGraphcumgr 16087  VtxDegcvtxdg 16281  EulerPathsceupth 16437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xadd 10106  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-word 11225  df-concat 11279  df-s1 11304  df-s2 11448  df-s3 11449  df-s4 11450  df-s5 11451  df-s6 11452  df-s7 11453  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-edg 16053  df-uhgrm 16064  df-ushgrm 16065  df-upgren 16088  df-umgren 16089  df-uspgren 16150  df-subgr 16249  df-vtxdg 16282  df-wlks 16313  df-trls 16376  df-eupth 16438

This theorem is referenced by: (None)