Theorem konigsberg 16648

Description: The Königsberg Bridge problem. If G is the Königsberg graph, i.e. a graph on four vertices 0 , 1 , 2 , 3, with edges { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 0 , 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 2 , 3 }, then vertices 0 , 1 , 3 each have degree three, and 2 has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eulerpathum 16636 the graph cannot have an Eulerian path. It is sufficient to show that there are 3 vertices of odd degree, since a graph having an Eulerian path can only have 0 or 2 vertices of odd degree. This is Metamath 100 proof #54. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberg	|- (EulerPaths ` G ) = (/)

Proof of Theorem konigsberg

Dummy variables x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . . . 5 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsberglem5 16647	. . . 4 |- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
5		elpri 3728	. . . . 5 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } -> ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 \/ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 ) )
6		2pos 9374	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
7		0re 8316	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
8		2re 9353	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
9	7, 8	ltnsymi 8415	. . . . . . . 8 |- ( 0 < 2 -> -. 2 < 0 )
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -. 2 < 0
11		breq2 4129	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 2 < 0 ) )
12	10, 11	mtbiri 686	. . . . . 6 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
13	8	ltnri 8408	. . . . . . 7 |- -. 2 < 2
14		breq2 4129	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 2 < 2 ) )
15	13, 14	mtbiri 686	. . . . . 6 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
16	12, 15	jaoi 728	. . . . 5 |- ( ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 \/ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 ) -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
17	5, 16	syl 14	. . . 4 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
18	4, 17	mt2 649	. . 3 |- -. (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 }
19	1, 2, 3	konigsbergumgr 16642	. . . 4 |- G e. UMGraph
20		0z 9634	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
21		3z 9652	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
22		fzfig 10845	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
23	20, 21, 22	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
24	1, 23	eqeltri 2311	. . . 4 |- V e. Fin
25	3	fveq2i 5693	. . . . . 6 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` <. V , E >. )
26	24	elexi 2834	. . . . . . 7 |- V e. _V
27		0nn0 9557	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
28		1nn0 9558	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN0
29		prexg 4344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
30	27, 28, 29	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 1 } e. _V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
32		2nn0 9559	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
33		prexg 4344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 0 , 2 } e. _V )
34	27, 32, 33	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 2 } e. _V
35	34	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
36		3nn0 9560	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. NN0
37		prexg 4344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 0 , 3 } e. _V )
38	27, 36, 37	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 3 } e. _V
39	38	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
40		prexg 4344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 1 , 2 } e. _V )
41	28, 32, 40	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 1 , 2 } e. _V
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
43		prexg 4344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 2 , 3 } e. _V )
44	32, 36, 43	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 2 , 3 } e. _V
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
46	31, 35, 39, 42, 42, 45, 45	s7cld 11533	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
47	46	mptru 1411	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
48	2, 47	eqeltri 2311	. . . . . . 7 |- E e. Word _V
49		opvtxfv 16177	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. Word _V ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )
50	26, 48, 49	mp2an 430	. . . . . 6 |- (Vtx ` <. V , E >. ) = V
51	25, 50	eqtr2i 2260	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
52	51	eulerpathum 16636	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
53	19, 24, 52	mp3an13 1369	. . 3 |- ( E. j j e. (EulerPaths ` G ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
54	18, 53	mto 672	. 2 |- -. E. j j e. (EulerPaths ` G )
55		notm0 3542	. 2 |- ( -. E. j j e. (EulerPaths ` G ) <-> (EulerPaths ` G ) = (/) )
56	54, 55	mpbi 145	1 |- (EulerPaths ` G ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   \/ wo 720   = wceq 1402   T. wtru 1403   E.wex 1545   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {cpr 3706   <.cop 3708   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   0cc0 8169   1c1 8170   < clt 8350   2c2 9334   3c3 9335   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ...cfz 10390  ♯chash 11192  Word cword 11282   <"cs7 11504   || cdvds 12532  Vtxcvtx 16167  UMGraphcumgr 16247  VtxDegcvtxdg 16441  EulerPathsceupth 16597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xadd 10154  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-word 11283  df-concat 11337  df-s1 11362  df-s2 11506  df-s3 11507  df-s4 11508  df-s5 11509  df-s6 11510  df-s7 11511  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-edg 16213  df-uhgrm 16224  df-ushgrm 16225  df-upgren 16248  df-umgren 16249  df-uspgren 16310  df-subgr 16409  df-vtxdg 16442  df-wlks 16473  df-trls 16536  df-eupth 16598

This theorem is referenced by: (None)