Theorem konigsberg 16734

Description: The Königsberg Bridge problem. If G is the Königsberg graph, i.e. a graph on four vertices 0 , 1 , 2 , 3, with edges { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 0 , 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 2 , 3 }, then vertices 0 , 1 , 3 each have degree three, and 2 has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eulerpathum 16722 the graph cannot have an Eulerian path. It is sufficient to show that there are 3 vertices of odd degree, since a graph having an Eulerian path can only have 0 or 2 vertices of odd degree. This is Metamath 100 proof #54. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberg	|- (EulerPaths ` G ) = (/)

Proof of Theorem konigsberg

Dummy variables x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . . . 5 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsberglem5 16733	. . . 4 |- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
5		elpri 3732	. . . . 5 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } -> ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 \/ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 ) )
6		2pos 9395	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
7		0re 8326	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
8		2re 9374	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
9	7, 8	ltnsymi 8425	. . . . . . . 8 |- ( 0 < 2 -> -. 2 < 0 )
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -. 2 < 0
11		breq2 4134	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 2 < 0 ) )
12	10, 11	mtbiri 686	. . . . . 6 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
13	8	ltnri 8418	. . . . . . 7 |- -. 2 < 2
14		breq2 4134	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 2 < 2 ) )
15	13, 14	mtbiri 686	. . . . . 6 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
16	12, 15	jaoi 728	. . . . 5 |- ( ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 0 \/ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = 2 ) -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
17	5, 16	syl 14	. . . 4 |- ( (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } -> -. 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
18	4, 17	mt2 649	. . 3 |- -. (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 }
19	1, 2, 3	konigsbergumgr 16728	. . . 4 |- G e. UMGraph
20		0z 9655	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
21		3z 9673	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
22		fzfig 10867	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
23	20, 21, 22	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
24	1, 23	eqeltri 2311	. . . 4 |- V e. Fin
25	3	fveq2i 5698	. . . . . 6 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` <. V , E >. )
26	24	elexi 2834	. . . . . . 7 |- V e. _V
27		0nn0 9578	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
28		1nn0 9579	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN0
29		prexg 4349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
30	27, 28, 29	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 1 } e. _V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
32		2nn0 9580	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
33		prexg 4349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 0 , 2 } e. _V )
34	27, 32, 33	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 2 } e. _V
35	34	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
36		3nn0 9581	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. NN0
37		prexg 4349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 0 , 3 } e. _V )
38	27, 36, 37	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 3 } e. _V
39	38	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
40		prexg 4349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 1 , 2 } e. _V )
41	28, 32, 40	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 1 , 2 } e. _V
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
43		prexg 4349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 2 , 3 } e. _V )
44	32, 36, 43	mp2an 430	. . . . . . . . . . 11 |- { 2 , 3 } e. _V
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
46	31, 35, 39, 42, 42, 45, 45	s7cld 11555	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
47	46	mptru 1411	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
48	2, 47	eqeltri 2311	. . . . . . 7 |- E e. Word _V
49		opvtxfv 16263	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. Word _V ) -> (Vtx ` <. V , E >. ) = V )
50	26, 48, 49	mp2an 430	. . . . . 6 |- (Vtx ` <. V , E >. ) = V
51	25, 50	eqtr2i 2260	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
52	51	eulerpathum 16722	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
53	19, 24, 52	mp3an13 1369	. . 3 |- ( E. j j e. (EulerPaths ` G ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
54	18, 53	mto 672	. 2 |- -. E. j j e. (EulerPaths ` G )
55		notm0 3542	. 2 |- ( -. E. j j e. (EulerPaths ` G ) <-> (EulerPaths ` G ) = (/) )
56	54, 55	mpbi 145	1 |- (EulerPaths ` G ) = (/)

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   \/ wo 720   = wceq 1402   T. wtru 1403   E.wex 1545   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   0cc0 8179   1c1 8180   < clt 8360   2c2 9355   3c3 9356   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ...cfz 10411  ♯chash 11214  Word cword 11304   <"cs7 11526   || cdvds 12554  Vtxcvtx 16253  UMGraphcumgr 16333  VtxDegcvtxdg 16527  EulerPathsceupth 16683

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xadd 10175  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-word 11305  df-concat 11359  df-s1 11384  df-s2 11528  df-s3 11529  df-s4 11530  df-s5 11531  df-s6 11532  df-s7 11533  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-edg 16299  df-uhgrm 16310  df-ushgrm 16311  df-upgren 16334  df-umgren 16335  df-uspgren 16396  df-subgr 16495  df-vtxdg 16528  df-wlks 16559  df-trls 16622  df-eupth 16684

This theorem is used by: (None)