Theorem eulerpathprum 16733

Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
eulerpathprum	|- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, P   x, V

Proof of Theorem eulerpathprum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpathpr.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		eqid 2238	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3		simp1 1028	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> G e. UMGraph )
4		umgruhgr 16366	. . . . . 6 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> G e. UHGraph )
6	2	uhgrfun 16330	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> Fun (iEdg ` G ) )
8		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> F (EulerPaths ` G ) P )
9		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> V e. Fin )
10	1, 2, 3, 7, 8, 9	eupth2fi 16732	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) )
11	10	fveq2d 5699	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
12		fveq2 5695	. . . 4 |- ( (/) = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> (♯ ` (/) ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
13	12	eleq1d 2307	. . 3 |- ( (/) = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> ( (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 } <-> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } ) )
14		fveq2 5695	. . . 4 |- ( { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
15	14	eleq1d 2307	. . 3 |- ( { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> ( (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) e. { 0 , 2 } <-> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } ) )
16		hash0 11237	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
17		c0ex 8320	. . . . . 6 |- 0 e. _V
18	17	prid1 3817	. . . . 5 |- 0 e. { 0 , 2 }
19	16, 18	eqeltri 2311	. . . 4 |- (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 }
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 } )
21		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
22	21	neqned 2427	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) )
23		eupthiswlk 16708	. . . . . . . . 9 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
24	8, 23	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> F (Walks ` G ) P )
25	1	wlkepvtx 16628	. . . . . . . 8 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) )
27		hashprg 11251	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
29	28	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
30	22, 29	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 )
31		2ex 9377	. . . . 5 |- 2 e. _V
32	31	prid2 3818	. . . 4 |- 2 e. { 0 , 2 }
33	30, 32	eqeltrdi 2329	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) e. { 0 , 2 } )
34	26	simpld 112	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( P ` 0 ) e. V )
35	26	simprd 114	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( P ` (♯ ` F ) ) e. V )
36		fidceq 7171	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) -> DECID ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
37	9, 34, 35, 36	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> DECID ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
38	13, 15, 20, 33, 37	ifbothdadc 3674	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } )
39	11, 38	eqeltrd 2315	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   (/)c0 3520   ifcif 3638   {cpr 3710   class class class wbr 4130   Fun wfun 5371   ` cfv 5377   Fincfn 7022   0cc0 8179   2c2 9356  ♯chash 11216   || cdvds 12556  Vtxcvtx 16265  iEdgciedg 16266  UHGraphcuhgr 16320  UMGraphcumgr 16345  VtxDegcvtxdg 16539  Walkscwlks 16570  EulerPathsceupth 16695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-xadd 10177  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-word 11307  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-dvds 12557  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-edg 16311  df-uhgrm 16322  df-ushgrm 16323  df-upgren 16346  df-umgren 16347  df-uspgren 16408  df-subgr 16507  df-vtxdg 16540  df-wlks 16571  df-trls 16634  df-eupth 16696

This theorem is used by:  eulerpathum  16734