Theorem eulerpathprum 16467

Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
eulerpathprum	|- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, P   x, V

Proof of Theorem eulerpathprum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpathpr.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		eqid 2232	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> G e. UMGraph )
4		umgruhgr 16100	. . . . . 6 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> G e. UHGraph )
6	2	uhgrfun 16064	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> Fun (iEdg ` G ) )
8		simp2 1025	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> F (EulerPaths ` G ) P )
9		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> V e. Fin )
10	1, 2, 3, 7, 8, 9	eupth2fi 16466	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) )
11	10	fveq2d 5673	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
12		fveq2 5669	. . . 4 |- ( (/) = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> (♯ ` (/) ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
13	12	eleq1d 2301	. . 3 |- ( (/) = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> ( (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 } <-> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } ) )
14		fveq2 5669	. . . 4 |- ( { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
15	14	eleq1d 2301	. . 3 |- ( { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> ( (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) e. { 0 , 2 } <-> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } ) )
16		hash0 11157	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
17		c0ex 8267	. . . . . 6 |- 0 e. _V
18	17	prid1 3796	. . . . 5 |- 0 e. { 0 , 2 }
19	16, 18	eqeltri 2305	. . . 4 |- (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 }
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 } )
21		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
22	21	neqned 2419	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) )
23		eupthiswlk 16442	. . . . . . . . 9 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
24	8, 23	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> F (Walks ` G ) P )
25	1	wlkepvtx 16362	. . . . . . . 8 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) )
27		hashprg 11171	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
29	28	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
30	22, 29	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 )
31		2ex 9308	. . . . 5 |- 2 e. _V
32	31	prid2 3797	. . . 4 |- 2 e. { 0 , 2 }
33	30, 32	eqeltrdi 2323	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) e. { 0 , 2 } )
34	26	simpld 112	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( P ` 0 ) e. V )
35	26	simprd 114	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( P ` (♯ ` F ) ) e. V )
36		fidceq 7123	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) -> DECID ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
37	9, 34, 35, 36	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> DECID ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
38	13, 15, 20, 33, 37	ifbothdadc 3655	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } )
39	11, 38	eqeltrd 2309	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   {crab 2524   (/)c0 3507   ifcif 3619   {cpr 3689   class class class wbr 4108   Fun wfun 5345   ` cfv 5351   Fincfn 6974   0cc0 8126   2c2 9287  ♯chash 11136   || cdvds 12469  Vtxcvtx 15999  iEdgciedg 16000  UHGraphcuhgr 16054  UMGraphcumgr 16079  VtxDegcvtxdg 16273  Walkscwlks 16304  EulerPathsceupth 16429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-xadd 10105  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-ihash 11137  df-word 11221  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-edgf 15992  df-vtx 16001  df-iedg 16002  df-edg 16045  df-uhgrm 16056  df-ushgrm 16057  df-upgren 16080  df-umgren 16081  df-uspgren 16142  df-subgr 16241  df-vtxdg 16274  df-wlks 16305  df-trls 16368  df-eupth 16430

This theorem is referenced by:  eulerpathum  16468