Theorem eulerpathprum 16492

Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
eulerpathprum	|- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, P   x, V

Proof of Theorem eulerpathprum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpathpr.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		eqid 2234	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> G e. UMGraph )
4		umgruhgr 16125	. . . . . 6 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> G e. UHGraph )
6	2	uhgrfun 16089	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> Fun (iEdg ` G ) )
8		simp2 1025	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> F (EulerPaths ` G ) P )
9		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> V e. Fin )
10	1, 2, 3, 7, 8, 9	eupth2fi 16491	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) )
11	10	fveq2d 5676	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
12		fveq2 5672	. . . 4 |- ( (/) = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> (♯ ` (/) ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
13	12	eleq1d 2303	. . 3 |- ( (/) = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> ( (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 } <-> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } ) )
14		fveq2 5672	. . . 4 |- ( { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
15	14	eleq1d 2303	. . 3 |- ( { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> ( (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) e. { 0 , 2 } <-> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } ) )
16		hash0 11163	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
17		c0ex 8270	. . . . . 6 |- 0 e. _V
18	17	prid1 3799	. . . . 5 |- 0 e. { 0 , 2 }
19	16, 18	eqeltri 2307	. . . 4 |- (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 }
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 } )
21		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
22	21	neqned 2421	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) )
23		eupthiswlk 16467	. . . . . . . . 9 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
24	8, 23	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> F (Walks ` G ) P )
25	1	wlkepvtx 16387	. . . . . . . 8 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) )
27		hashprg 11177	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
29	28	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
30	22, 29	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 )
31		2ex 9311	. . . . 5 |- 2 e. _V
32	31	prid2 3800	. . . 4 |- 2 e. { 0 , 2 }
33	30, 32	eqeltrdi 2325	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) e. { 0 , 2 } )
34	26	simpld 112	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( P ` 0 ) e. V )
35	26	simprd 114	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( P ` (♯ ` F ) ) e. V )
36		fidceq 7126	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) -> DECID ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
37	9, 34, 35, 36	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> DECID ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
38	13, 15, 20, 33, 37	ifbothdadc 3658	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } )
39	11, 38	eqeltrd 2311	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   {crab 2526   (/)c0 3510   ifcif 3622   {cpr 3692   class class class wbr 4111   Fun wfun 5348   ` cfv 5354   Fincfn 6977   0cc0 8129   2c2 9290  ♯chash 11142   || cdvds 12477  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  UHGraphcuhgr 16079  UMGraphcumgr 16104  VtxDegcvtxdg 16298  Walkscwlks 16329  EulerPathsceupth 16454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-xadd 10109  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-fl 10634  df-mod 10689  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-ihash 11143  df-word 11229  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-dvds 12478  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-edg 16070  df-uhgrm 16081  df-ushgrm 16082  df-upgren 16105  df-umgren 16106  df-uspgren 16167  df-subgr 16266  df-vtxdg 16299  df-wlks 16330  df-trls 16393  df-eupth 16455

This theorem is referenced by:  eulerpathum  16493