Theorem eulerpathprum 16401

Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
eulerpathprum	|- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, P   x, V

Proof of Theorem eulerpathprum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpathpr.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		eqid 2231	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> G e. UMGraph )
4		umgruhgr 16034	. . . . . 6 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> G e. UHGraph )
6	2	uhgrfun 15998	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> Fun (iEdg ` G ) )
8		simp2 1025	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> F (EulerPaths ` G ) P )
9		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> V e. Fin )
10	1, 2, 3, 7, 8, 9	eupth2fi 16400	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) )
11	10	fveq2d 5652	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
12		fveq2 5648	. . . 4 |- ( (/) = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> (♯ ` (/) ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
13	12	eleq1d 2300	. . 3 |- ( (/) = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> ( (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 } <-> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } ) )
14		fveq2 5648	. . . 4 |- ( { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) )
15	14	eleq1d 2300	. . 3 |- ( { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } = if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) -> ( (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) e. { 0 , 2 } <-> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } ) )
16		hash0 11102	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
17		c0ex 8216	. . . . . 6 |- 0 e. _V
18	17	prid1 3781	. . . . 5 |- 0 e. { 0 , 2 }
19	16, 18	eqeltri 2304	. . . 4 |- (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 }
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` (/) ) e. { 0 , 2 } )
21		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
22	21	neqned 2410	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) )
23		eupthiswlk 16376	. . . . . . . . 9 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
24	8, 23	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> F (Walks ` G ) P )
25	1	wlkepvtx 16296	. . . . . . . 8 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) )
27		hashprg 11116	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
29	28	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` (♯ ` F ) ) <-> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 ) )
30	22, 29	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) = 2 )
31		2ex 9258	. . . . 5 |- 2 e. _V
32	31	prid2 3782	. . . 4 |- 2 e. { 0 , 2 }
33	30, 32	eqeltrdi 2322	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) /\ -. ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) e. { 0 , 2 } )
34	26	simpld 112	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( P ` 0 ) e. V )
35	26	simprd 114	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> ( P ` (♯ ` F ) ) e. V )
36		fidceq 7099	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ ( P ` 0 ) e. V /\ ( P ` (♯ ` F ) ) e. V ) -> DECID ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
37	9, 34, 35, 36	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> DECID ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) )
38	13, 15, 20, 33, 37	ifbothdadc 3643	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` if ( ( P ` 0 ) = ( P ` (♯ ` F ) ) , (/) , { ( P ` 0 ) , ( P ` (♯ ` F ) ) } ) ) e. { 0 , 2 } )
39	11, 38	eqeltrd 2308	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ F (EulerPaths ` G ) P /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   {crab 2515   (/)c0 3496   ifcif 3607   {cpr 3674   class class class wbr 4093   Fun wfun 5327   ` cfv 5333   Fincfn 6952   0cc0 8075   2c2 9237  ♯chash 11081   || cdvds 12409  Vtxcvtx 15933  iEdgciedg 15934  UHGraphcuhgr 15988  UMGraphcumgr 16013  VtxDegcvtxdg 16207  Walkscwlks 16238  EulerPathsceupth 16363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xadd 10051  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-word 11161  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-edgf 15926  df-vtx 15935  df-iedg 15936  df-edg 15979  df-uhgrm 15990  df-ushgrm 15991  df-upgren 16014  df-umgren 16015  df-uspgren 16076  df-subgr 16175  df-vtxdg 16208  df-wlks 16239  df-trls 16302  df-eupth 16364

This theorem is referenced by:  eulerpathum  16402