Theorem eupth2lembfi 16459

Description: Lemma for eupth2fi 16461 (induction basis): There are no vertices of odd degree in an Eulerian path of length 0, having no edge and identical endpoints (the single vertex of the Eulerian path). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth2.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupth2fi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
eupth2.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupth2.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupth2fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
eupth2lembfi	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lembfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z0even 12590	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 0
2		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
3		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
4		eupth2fi.fi	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
5	4	elexd 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
6		eupth2.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		eupth2fi.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
8		iedgex 16001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
10	6, 9	eqeltrid 2319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
11		resexg 5077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V)
13		opvtxfv 16004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
14	5, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
15	14	eqcomd 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
16	15	eleq2d 2302	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↔ 𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)))
17	16	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
18		opiedgfv 16007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
19	5, 12, 18	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
20		fzo0 10500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^0) = ∅
21	20	imaeq2i 5098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 “ (0..^0)) = (𝐹 “ ∅)
22		ima0 5120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtri 2253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ (0..^0)) = ∅
24	23	reseq2i 5034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = (𝐼 ↾ ∅)
25		res0 5041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ↾ ∅) = ∅
26	24, 25	eqtri 2253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = ∅
27	19, 26	eqtrdi 2281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
28	27	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
29	14, 4	eqeltrd 2309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) ∈ Fin)
30	29	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) ∈ Fin)
31	26	opeq2i 3886	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩ = ⟨𝑉, ∅⟩
32		upgr0eop 16104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ UPGraph)
33	5, 32	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ UPGraph)
34	31, 33	eqeltrid 2319	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩ ∈ UPGraph)
35	34	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩ ∈ UPGraph)
36	2, 3, 17, 28, 30, 35	vtxdgfi0e 16277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥) = 0)
37	1, 36	breqtrrid 4146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
38	37	notnotd 635	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
39	38	ralrimiva 2615	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
40		rabeq0 3537	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
41	39, 40	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524  Vcvv 2812  ∅c0 3507  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108   ↾ cres 4750   “ cima 4751  Fun wfun 5345  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Fincfn 6974  0cc0 8123  2c2 9284  ..^cfzo 10472   ∥ cdvds 12466  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  UPGraphcupgr 16073  UMGraphcumgr 16074  VtxDegcvtxdg 16268  EulerPathsceupth 16424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-xadd 10102  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-ihash 11134  df-dvds 12467  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-upgren 16075  df-umgren 16076  df-vtxdg 16269

This theorem is referenced by:  eupth2fi  16461