Theorem eupth2lembfi 16355

Description: Lemma for eupth2fi 16357 (induction basis): There are no vertices of odd degree in an Eulerian path of length 0, having no edge and identical endpoints (the single vertex of the Eulerian path). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth2.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupth2fi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
eupth2.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupth2.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupth2fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
eupth2lembfi	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lembfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z0even 12493	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 0
2		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
3		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)
4		eupth2fi.fi	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
5	4	elexd 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
6		eupth2.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		eupth2fi.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
8		iedgex 15897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
10	6, 9	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
11		resexg 5053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V)
13		opvtxfv 15900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
14	5, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = 𝑉)
15	14	eqcomd 2237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
16	15	eleq2d 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↔ 𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)))
17	16	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩))
18		opiedgfv 15903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
19	5, 12, 18	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))))
20		fzo0 10408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^0) = ∅
21	20	imaeq2i 5074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 “ (0..^0)) = (𝐹 “ ∅)
22		ima0 5095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 “ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtri 2252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ (0..^0)) = ∅
24	23	reseq2i 5010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = (𝐼 ↾ ∅)
25		res0 5017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ↾ ∅) = ∅
26	24, 25	eqtri 2252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0))) = ∅
27	19, 26	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
28	27	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) = ∅)
29	14, 4	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) ∈ Fin)
30	29	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩) ∈ Fin)
31	26	opeq2i 3866	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩ = ⟨𝑉, ∅⟩
32		upgr0eop 16000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ UPGraph)
33	5, 32	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ UPGraph)
34	31, 33	eqeltrid 2318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩ ∈ UPGraph)
35	34	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩ ∈ UPGraph)
36	2, 3, 17, 28, 30, 35	vtxdgfi0e 16173	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥) = 0)
37	1, 36	breqtrrid 4126	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
38	37	notnotd 635	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
39	38	ralrimiva 2605	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
40		rabeq0 3524	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥))
41	39, 40	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^0)))⟩)‘𝑥)} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514  Vcvv 2802  ∅c0 3494  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   ↾ cres 4727   “ cima 4728  Fun wfun 5320  ‘cfv 5326  (class class class)co 6021  Fincfn 6912  0cc0 8035  2c2 9197  ..^cfzo 10380   ∥ cdvds 12369  Vtxcvtx 15890  iEdgciedg 15891  UPGraphcupgr 15969  UMGraphcumgr 15970  VtxDegcvtxdg 16164  EulerPathsceupth 16320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-frec 6560  df-1o 6585  df-2o 6586  df-er 6705  df-en 6913  df-dom 6914  df-fin 6915  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-z 9483  df-dec 9615  df-uz 9759  df-xadd 10011  df-fz 10247  df-fzo 10381  df-ihash 11042  df-dvds 12370  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-edgf 15883  df-vtx 15892  df-iedg 15893  df-upgren 15971  df-umgren 15972  df-vtxdg 16165

This theorem is referenced by:  eupth2fi  16357