Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcllem GIF version

Theorem expcllem 10423
 Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3 1 ∈ 𝐹
Assertion
Ref Expression
expcllem ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcllem
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 9086 . 2 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2 oveq2 5829 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (𝐴𝑧) = (𝐴↑1))
32eleq1d 2226 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑1) ∈ 𝐹))
43imbi2d 229 . . . . 5 (𝑧 = 1 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)))
5 oveq2 5829 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝐴𝑧) = (𝐴𝑤))
65eleq1d 2226 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹))
76imbi2d 229 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴𝑤) ∈ 𝐹)))
8 oveq2 5829 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑤 + 1) → (𝐴𝑧) = (𝐴↑(𝑤 + 1)))
98eleq1d 2226 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹))
109imbi2d 229 . . . . 5 (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
11 oveq2 5829 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧) = (𝐴𝐵))
1211eleq1d 2226 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
1312imbi2d 229 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)))
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9 𝐹 ⊆ ℂ
1514sseli 3124 . . . . . . . 8 (𝐴𝐹𝐴 ∈ ℂ)
16 exp1 10418 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) = 𝐴)
1817eleq1d 2226 . . . . . 6 (𝐴𝐹 → ((𝐴↑1) ∈ 𝐹𝐴𝐹))
1918ibir 176 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
2120caovcl 5972 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑤) ∈ 𝐹𝐴𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
2221ancoms 266 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹 ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
2322adantlr 469 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
24 nnnn0 9091 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℕ0)
25 expp1 10419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴𝑤) · 𝐴))
2615, 24, 25syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴𝑤) · 𝐴))
2726eleq1d 2226 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
2827adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
2923, 28mpbird 166 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)
3029exp31 362 . . . . . . 7 (𝐴𝐹 → (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
3130com12 30 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℕ → (𝐴𝐹 → ((𝐴𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
3231a2d 26 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 8843 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴𝐹 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
3433impcom 124 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
35 oveq2 5829 . . . . 5 (𝐵 = 0 → (𝐴𝐵) = (𝐴↑0))
36 exp0 10416 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3715, 36syl 14 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐴↑0) = 1)
3835, 37sylan9eqr 2212 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐵 = 0) → (𝐴𝐵) = 1)
39 expcllem.3 . . . 4 1 ∈ 𝐹
4038, 39eqeltrdi 2248 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵 = 0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
4134, 40jaodan 787 . 2 ((𝐴𝐹 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
421, 41sylan2b 285 1 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ⊆ wss 3102  (class class class)co 5821  ℂcc 7724  0cc0 7726  1c1 7727   + caddc 7729   · cmul 7731  ℕcn 8827  ℕ0cn0 9084  ↑cexp 10411 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-seqfrec 10338  df-exp 10412 This theorem is referenced by:  expcl2lemap  10424  nnexpcl  10425  nn0expcl  10426  zexpcl  10427  qexpcl  10428  reexpcl  10429  expcl  10430  expge0  10448  expge1  10449
 Copyright terms: Public domain W3C validator