ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcllem GIF version

Theorem expcllem 9868
Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3 1 ∈ 𝐹
Assertion
Ref Expression
expcllem ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcllem
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 8611 . 2 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2 oveq2 5623 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (𝐴𝑧) = (𝐴↑1))
32eleq1d 2153 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑1) ∈ 𝐹))
43imbi2d 228 . . . . 5 (𝑧 = 1 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)))
5 oveq2 5623 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝐴𝑧) = (𝐴𝑤))
65eleq1d 2153 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹))
76imbi2d 228 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴𝑤) ∈ 𝐹)))
8 oveq2 5623 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑤 + 1) → (𝐴𝑧) = (𝐴↑(𝑤 + 1)))
98eleq1d 2153 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹))
109imbi2d 228 . . . . 5 (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
11 oveq2 5623 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧) = (𝐴𝐵))
1211eleq1d 2153 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
1312imbi2d 228 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)))
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9 𝐹 ⊆ ℂ
1514sseli 3010 . . . . . . . 8 (𝐴𝐹𝐴 ∈ ℂ)
16 exp1 9863 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) = 𝐴)
1817eleq1d 2153 . . . . . 6 (𝐴𝐹 → ((𝐴↑1) ∈ 𝐹𝐴𝐹))
1918ibir 175 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
2120caovcl 5758 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑤) ∈ 𝐹𝐴𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
2221ancoms 264 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹 ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
2322adantlr 461 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
24 nnnn0 8616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℕ0)
25 expp1 9864 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴𝑤) · 𝐴))
2615, 24, 25syl2an 283 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴𝑤) · 𝐴))
2726eleq1d 2153 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
2827adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
2923, 28mpbird 165 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)
3029exp31 356 . . . . . . 7 (𝐴𝐹 → (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
3130com12 30 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℕ → (𝐴𝐹 → ((𝐴𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
3231a2d 26 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 8376 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴𝐹 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
3433impcom 123 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
35 oveq2 5623 . . . . 5 (𝐵 = 0 → (𝐴𝐵) = (𝐴↑0))
36 exp0 9861 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3715, 36syl 14 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐴↑0) = 1)
3835, 37sylan9eqr 2139 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐵 = 0) → (𝐴𝐵) = 1)
39 expcllem.3 . . . 4 1 ∈ 𝐹
4038, 39syl6eqel 2175 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵 = 0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
4134, 40jaodan 744 . 2 ((𝐴𝐹 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
421, 41sylan2b 281 1 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1287  wcel 1436  wss 2988  (class class class)co 5615  cc 7295  0cc0 7297  1c1 7298   + caddc 7300   · cmul 7302  cn 8360  0cn0 8609  cexp 9856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-iseq 9783  df-iexp 9857
This theorem is referenced by:  expcl2lemap  9869  nnexpcl  9870  nn0expcl  9871  zexpcl  9872  qexpcl  9873  reexpcl  9874  expcl  9875  expge0  9893  expge1  9894
  Copyright terms: Public domain W3C validator