Theorem gausslemma2dlem0c 15751

Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 15769. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2dlem0b.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0c	|- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 )

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0a.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		eldifi 3326	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> P e. Prime )
4		gausslemma2dlem0b.h	. . . . . 6 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
5	1, 4	gausslemma2dlem0b 15750	. . . . 5 |- ( ph -> H e. NN )
6	5	nnnn0d 9438	. . . 4 |- ( ph -> H e. NN0 )
7	3, 6	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( P e. Prime /\ H e. NN0 ) )
8		prmnn 12653	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9		nnre 9133	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. RR )
10		peano2rem 8429	. . . . . . . 8 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. RR )
12		2re 9196	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 2 e. RR )
14	13, 9	remulcld 8193	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( 2 x. P ) e. RR )
15	9	ltm1d 9095	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) < P )
16		nnnn0 9392	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
17	16	nn0ge0d 9441	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 0 <_ P )
18		1le2 9335	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 2
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 1 <_ 2 )
20	9, 13, 17, 19	lemulge12d 9101	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> P <_ ( 2 x. P ) )
21	11, 9, 14, 15, 20	ltletrd 8586	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) )
22		2pos 9217	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
23	12, 22	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
25		ltdivmul 9039	. . . . . . 7 |- ( ( ( P - 1 ) e. RR /\ P e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) < P <-> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) ) )
26	11, 9, 24, 25	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) < P <-> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) ) )
27	21, 26	mpbird 167	. . . . 5 |- ( P e. NN -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < P )
28	1, 2, 8, 27	4syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < P )
29	4, 28	eqbrtrid 4118	. . 3 |- ( ph -> H < P )
30		prmndvdsfaclt 12699	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ H e. NN0 ) -> ( H < P -> -. P || ( ! ` H ) ) )
31	7, 29, 30	sylc 62	. 2 |- ( ph -> -. P || ( ! ` H ) )
32	6	faccld 10975	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. NN )
33	32	nnzd 9584	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. ZZ )
34		nnz 9481	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
35	1, 2, 8, 34	4syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ZZ )
36	33, 35	gcdcomd 12516	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = ( P gcd ( ! ` H ) ) )
37	36	eqeq1d 2238	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
38		coprm 12687	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( ! ` H ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( ! ` H ) <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
39	3, 33, 38	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( -. P || ( ! ` H ) <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
40	37, 39	bitr4d 191	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 <-> -. P || ( ! ` H ) ) )
41	31, 40	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3194   {csn 3666   class class class wbr 4083   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   RRcr 8014   0cc0 8015   1c1 8016   x. cmul 8020   < clt 8197   <_ cle 8198   - cmin 8333   / cdiv 8835   NNcn 9126   2c2 9177   NN0cn0 9385   ZZcz 9462   !cfa 10964   || cdvds 12319   gcd cgcd 12495   Primecprime 12650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-fac 10965  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-dvds 12320  df-gcd 12496  df-prm 12651

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15768