Theorem gausslemma2dlem0c 15916

Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 15934. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2dlem0b.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0c	|- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 )

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0a.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		eldifi 3340	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> P e. Prime )
4		gausslemma2dlem0b.h	. . . . . 6 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
5	1, 4	gausslemma2dlem0b 15915	. . . . 5 |- ( ph -> H e. NN )
6	5	nnnn0d 9552	. . . 4 |- ( ph -> H e. NN0 )
7	3, 6	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( P e. Prime /\ H e. NN0 ) )
8		prmnn 12803	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9		nnre 9243	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. RR )
10		peano2rem 8539	. . . . . . . 8 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. RR )
12		2re 9306	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 2 e. RR )
14	13, 9	remulcld 8303	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( 2 x. P ) e. RR )
15	9	ltm1d 9205	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) < P )
16		nnnn0 9502	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
17	16	nn0ge0d 9555	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 0 <_ P )
18		1le2 9445	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 2
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 1 <_ 2 )
20	9, 13, 17, 19	lemulge12d 9211	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> P <_ ( 2 x. P ) )
21	11, 9, 14, 15, 20	ltletrd 8696	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) )
22		2pos 9327	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
23	12, 22	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
25		ltdivmul 9149	. . . . . . 7 |- ( ( ( P - 1 ) e. RR /\ P e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) < P <-> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) ) )
26	11, 9, 24, 25	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) < P <-> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) ) )
27	21, 26	mpbird 167	. . . . 5 |- ( P e. NN -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < P )
28	1, 2, 8, 27	4syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < P )
29	4, 28	eqbrtrid 4143	. . 3 |- ( ph -> H < P )
30		prmndvdsfaclt 12849	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ H e. NN0 ) -> ( H < P -> -. P || ( ! ` H ) ) )
31	7, 29, 30	sylc 62	. 2 |- ( ph -> -. P || ( ! ` H ) )
32	6	faccld 11097	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. NN )
33	32	nnzd 9698	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. ZZ )
34		nnz 9595	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
35	1, 2, 8, 34	4syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ZZ )
36	33, 35	gcdcomd 12666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = ( P gcd ( ! ` H ) ) )
37	36	eqeq1d 2241	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
38		coprm 12837	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( ! ` H ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( ! ` H ) <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
39	3, 33, 38	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( -. P || ( ! ` H ) <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
40	37, 39	bitr4d 191	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 <-> -. P || ( ! ` H ) ) )
41	31, 40	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   \ cdif 3207   {csn 3688   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   RRcr 8125   0cc0 8126   1c1 8127   x. cmul 8131   < clt 8307   <_ cle 8308   - cmin 8443   / cdiv 8945   NNcn 9236   2c2 9287   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   !cfa 11086   || cdvds 12469   gcd cgcd 12645   Primecprime 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-fac 11087  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-gcd 12646  df-prm 12801

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15933