Theorem gausslemma2dlem0c 15715

Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 15733. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2dlem0b.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0c	|- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 )

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0a.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		eldifi 3326	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> P e. Prime )
4		gausslemma2dlem0b.h	. . . . . 6 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
5	1, 4	gausslemma2dlem0b 15714	. . . . 5 |- ( ph -> H e. NN )
6	5	nnnn0d 9410	. . . 4 |- ( ph -> H e. NN0 )
7	3, 6	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( P e. Prime /\ H e. NN0 ) )
8		prmnn 12618	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9		nnre 9105	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. RR )
10		peano2rem 8401	. . . . . . . 8 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. RR )
12		2re 9168	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 2 e. RR )
14	13, 9	remulcld 8165	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( 2 x. P ) e. RR )
15	9	ltm1d 9067	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) < P )
16		nnnn0 9364	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
17	16	nn0ge0d 9413	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 0 <_ P )
18		1le2 9307	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 2
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 1 <_ 2 )
20	9, 13, 17, 19	lemulge12d 9073	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> P <_ ( 2 x. P ) )
21	11, 9, 14, 15, 20	ltletrd 8558	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) )
22		2pos 9189	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
23	12, 22	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
25		ltdivmul 9011	. . . . . . 7 |- ( ( ( P - 1 ) e. RR /\ P e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) < P <-> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) ) )
26	11, 9, 24, 25	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) < P <-> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) ) )
27	21, 26	mpbird 167	. . . . 5 |- ( P e. NN -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < P )
28	1, 2, 8, 27	4syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < P )
29	4, 28	eqbrtrid 4117	. . 3 |- ( ph -> H < P )
30		prmndvdsfaclt 12664	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ H e. NN0 ) -> ( H < P -> -. P || ( ! ` H ) ) )
31	7, 29, 30	sylc 62	. 2 |- ( ph -> -. P || ( ! ` H ) )
32	6	faccld 10945	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. NN )
33	32	nnzd 9556	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. ZZ )
34		nnz 9453	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
35	1, 2, 8, 34	4syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ZZ )
36	33, 35	gcdcomd 12481	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = ( P gcd ( ! ` H ) ) )
37	36	eqeq1d 2238	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
38		coprm 12652	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( ! ` H ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( ! ` H ) <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
39	3, 33, 38	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( -. P || ( ! ` H ) <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
40	37, 39	bitr4d 191	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 <-> -. P || ( ! ` H ) ) )
41	31, 40	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3194   {csn 3666   class class class wbr 4082   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   RRcr 7986   0cc0 7987   1c1 7988   x. cmul 7992   < clt 8169   <_ cle 8170   - cmin 8305   / cdiv 8807   NNcn 9098   2c2 9149   NN0cn0 9357   ZZcz 9434   !cfa 10934   || cdvds 12284   gcd cgcd 12460   Primecprime 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-2o 6553  df-er 6670  df-en 6878  df-sup 7139  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-fac 10935  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-dvds 12285  df-gcd 12461  df-prm 12616

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15732