Theorem gausslemma2dlem0c 16036

Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 16054. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2dlem0b.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0c	|- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 )

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0a.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		eldifi 3345	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> P e. Prime )
4		gausslemma2dlem0b.h	. . . . . 6 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
5	1, 4	gausslemma2dlem0b 16035	. . . . 5 |- ( ph -> H e. NN )
6	5	nnnn0d 9570	. . . 4 |- ( ph -> H e. NN0 )
7	3, 6	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( P e. Prime /\ H e. NN0 ) )
8		prmnn 12832	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9		nnre 9261	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> P e. RR )
10		peano2rem 8556	. . . . . . . 8 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. RR )
12		2re 9324	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 2 e. RR )
14	13, 9	remulcld 8320	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( 2 x. P ) e. RR )
15	9	ltm1d 9223	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) < P )
16		nnnn0 9520	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
17	16	nn0ge0d 9573	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 0 <_ P )
18		1le2 9463	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 2
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> 1 <_ 2 )
20	9, 13, 17, 19	lemulge12d 9229	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> P <_ ( 2 x. P ) )
21	11, 9, 14, 15, 20	ltletrd 8714	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) )
22		2pos 9345	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
23	12, 22	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
25		ltdivmul 9167	. . . . . . 7 |- ( ( ( P - 1 ) e. RR /\ P e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) < P <-> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) ) )
26	11, 9, 24, 25	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) < P <-> ( P - 1 ) < ( 2 x. P ) ) )
27	21, 26	mpbird 167	. . . . 5 |- ( P e. NN -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < P )
28	1, 2, 8, 27	4syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) < P )
29	4, 28	eqbrtrid 4149	. . 3 |- ( ph -> H < P )
30		prmndvdsfaclt 12878	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ H e. NN0 ) -> ( H < P -> -. P || ( ! ` H ) ) )
31	7, 29, 30	sylc 62	. 2 |- ( ph -> -. P || ( ! ` H ) )
32	6	faccld 11123	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. NN )
33	32	nnzd 9717	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. ZZ )
34		nnz 9613	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
35	1, 2, 8, 34	4syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ZZ )
36	33, 35	gcdcomd 12695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = ( P gcd ( ! ` H ) ) )
37	36	eqeq1d 2243	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
38		coprm 12866	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( ! ` H ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( ! ` H ) <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
39	3, 33, 38	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( -. P || ( ! ` H ) <-> ( P gcd ( ! ` H ) ) = 1 ) )
40	37, 39	bitr4d 191	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 <-> -. P || ( ! ` H ) ) )
41	31, 40	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) gcd P ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   \ cdif 3211   {csn 3694   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   !cfa 11112   || cdvds 12498   gcd cgcd 12674   Primecprime 12829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-prm 12830

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  16053