Theorem gausslemma2dlem0b 15377

Description: Auxiliary lemma 2 for gausslemma2d 15396. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0b.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0b	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0b.h	. 2 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
2		gausslemma2dlem0a.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		eldifi 3286	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
4		prmuz2 12326	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
6		nnoddn2prm 12456	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
7		nnoddm1d2 12094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ))
8	7	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 9321	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
11	5, 10	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
12	2, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
13		nno 12090	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
15	1, 14	eqeltrid 2283	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∖ cdif 3154  {csn 3623   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  1c1 7899   + caddc 7901   − cmin 8216   / cdiv 8718  ℕcn 9009  2c2 9060  ℕ₀cn0 9268  ℤ_≥cuz 9620   ∥ cdvds 11971  ℙcprime 12302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-en 6809  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-dvds 11972  df-prm 12303

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0c  15378  gausslemma2dlem0h  15383  gausslemma2dlem1  15388  gausslemma2dlem2  15389  gausslemma2dlem4  15391  gausslemma2dlem5a  15392  gausslemma2dlem5  15393  gausslemma2dlem6  15394  gausslemma2dlem7  15395  gausslemma2d  15396  lgsquadlemsfi  15402  lgsquadlem1  15404  lgsquadlem2  15405  lgsquadlem3  15406