Theorem gzsumgsum 14132

Description: On an integer range, gzsum_gz and gsum_g agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumgsum.b	|- B = ( Base ` G )
gzsumgsum.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gzsumgsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gzsumgsum.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gzsumgsum.f	|- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )

Assertion

Ref	Expression
gzsumgsum	|- ( ph -> ( G gzsumgz F ) = ( G gsumg F ) )

Proof of Theorem gzsumgsum

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzsumgsum.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		gzsumgsum.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. CMnd )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> G e. CMnd )
4		gzsumgsum.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
5	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
6		gzsumgsum.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> M <_ N )
9		eluz2 9906	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1212	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
11		gzsumgsum.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> F : ( M ... N ) --> B )
13		eqid 2238	. . . 4 |- ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )
14	1, 3, 10, 12, 13	gzsumshift 14126	. . 3 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( G gzsumgz F ) = ( G gzsumgz ( F o. ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ) ) )
15	4, 6	fzfigd 10846	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( M ... N ) e. Fin )
17		1zzd 9650	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
18	17, 4	zsubcld 9752	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. ZZ )
19	18, 4, 6	mptfzshft 12187	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
21	4	zcnd 9748	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
22		1cnd 8332	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
23	21, 22	pncan3d 8630	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + ( 1 - M ) ) = 1 )
24	23	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
25	24	mpteq1d 4211	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
27	23	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( M + ( 1 - M ) ) = 1 )
28		hashfz 11240	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> (♯ ` ( M ... N ) ) = ( ( N - M ) + 1 ) )
29	10, 28	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> (♯ ` ( M ... N ) ) = ( ( N - M ) + 1 ) )
30	7	zcnd 9748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> N e. CC )
31	21	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> M e. CC )
32		1cnd 8332	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> 1 e. CC )
33	30, 31, 32	subadd23d 8649	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( ( N - M ) + 1 ) = ( N + ( 1 - M ) ) )
34	29, 33	eqtr2d 2272	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( N + ( 1 - M ) ) = (♯ ` ( M ... N ) ) )
35	27, 34	oveq12d 6093	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( 1 ... (♯ ` ( M ... N ) ) ) )
36		eqidd 2239	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( M ... N ) = ( M ... N ) )
37	26, 35, 36	f1oeq123d 5628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( 1 ... (♯ ` ( M ... N ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
38	20, 37	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( 1 ... (♯ ` ( M ... N ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
39	1, 3, 12, 16, 38	gsumvalfi 14129	. . 3 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( G gsumg F ) = ( G gzsumgz ( F o. ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ) ) )
40	14, 39	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( ph /\ M <_ N ) -> ( G gzsumgz F ) = ( G gsumg F ) )
41	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> G e. CMnd )
42		gsum0cmn 14131	. . . 4 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
43	41, 42	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
44	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> F : ( M ... N ) --> B )
45		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> -. M <_ N )
46	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> N e. ZZ )
47	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> M e. ZZ )
48		zltnle 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
49	46, 47, 48	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
50	45, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> N < M )
51		fzn 10425	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
52	47, 46, 51	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
53	50, 52	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( M ... N ) = (/) )
54	53	feq2d 5516	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( F : ( M ... N ) --> B <-> F : (/) --> B ) )
55	44, 54	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> F : (/) --> B )
56		f0bi 5580	. . . . 5 |- ( F : (/) --> B <-> F = (/) )
57	55, 56	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> F = (/) )
58	57	oveq2d 6091	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg (/) ) )
59	57	oveq2d 6091	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( G gzsumgz F ) = ( G gzsumgz (/) ) )
60		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
61	60	gzsum0 13690	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( G gzsumgz (/) ) = ( 0g ` G ) )
62	41, 61	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( G gzsumgz (/) ) = ( 0g ` G ) )
63	59, 62	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( G gzsumgz F ) = ( 0g ` G ) )
64	43, 58, 63	3eqtr4rd 2282	. 2 |- ( ( ph /\ -. M <_ N ) -> ( G gzsumgz F ) = ( G gsumg F ) )
65		zdcle 9700	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
66	4, 6, 65	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> DECID M <_ N )
67		exmiddc 848	. . 3 |- (DECID M <_ N -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
68	66, 67	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( M <_ N \/ -. M <_ N ) )
69	40, 64, 68	mpjaodan 810	1 |- ( ph -> ( G gzsumgz F ) = ( G gsumg F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   o. ccom 4773   -->wf 5368   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   CCcc 8167   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390  ♯chash 11192   Basecbs 13330   0gc0g 13587   gzsum_gz cgzsu 13588  CMndccmn 14064   gsum_g cgsu 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-cmn 14066  df-gsumfi 14128

This theorem is referenced by: (None)