Theorem gzsumgsum 14204

Description: On an integer range, Σ_gz and Σ_g agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gzsumgsum.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gzsumgsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gzsumgsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gzsumgsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gzsumgsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gzsumgsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzsumgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gzsumgsum.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gzsumgsum.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gzsumgsum.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9		eluz2 9936	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		gzsumgsum.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
13		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀)))
14	1, 3, 10, 12, 13	gzsumshift 14198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐺 Σgz (𝐹 ∘ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))))
15	4, 6	fzfigd 10881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
17		1zzd 9675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18	17, 4	zsubcld 9777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
19	18, 4, 6	mptfzshft 12225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
21	4	zcnd 9773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22		1cnd 8342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	pncan3d 8641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
24	23	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
25	24	mpteq1d 4216	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))
27	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
28		hashfz 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁 − 𝑀) + 1))
29	10, 28	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁 − 𝑀) + 1))
30	7	zcnd 9773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	21	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
32		1cnd 8342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	subadd23d 8660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝑀) + 1) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
34	29, 33	eqtr2d 2272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = (♯‘(𝑀...𝑁)))
35	27, 34	oveq12d 6103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...(♯‘(𝑀...𝑁))))
36		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...𝑁))
37	26, 35, 36	f1oeq123d 5633	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):(1...(♯‘(𝑀...𝑁)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁)))
38	20, 37	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):(1...(♯‘(𝑀...𝑁)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
39	1, 3, 12, 16, 38	gsumvalfi 14201	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgz (𝐹 ∘ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))))
40	14, 39	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐹))
41	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐺 ∈ CMnd)
42		gsum0cmn 14203	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
43	41, 42	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
44	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
45		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
46	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
47	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
48		zltnle 9694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
49	46, 47, 48	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
50	45, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 < 𝑀)
51		fzn 10456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
52	47, 46, 51	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
53	50, 52	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) = ∅)
54	53	feq2d 5521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ↔ 𝐹:∅⟶𝐵))
55	44, 54	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:∅⟶𝐵)
56		f0bi 5585	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅⟶𝐵 ↔ 𝐹 = ∅)
57	55, 56	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹 = ∅)
58	57	oveq2d 6101	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ∅))
59	57	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐺 Σgz ∅))
60		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
61	60	gzsum0 13762	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgz ∅) = (0g‘𝐺))
62	41, 61	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgz ∅) = (0g‘𝐺))
63	59, 62	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgz 𝐹) = (0g‘𝐺))
64	43, 58, 63	3eqtr4rd 2282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐹))
65		zdcle 9725	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
66	4, 6, 65	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
67		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
68	66, 67	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
69	40, 64, 68	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192   ∘ ccom 4778  ⟶wf 5373  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  ℂcc 8177  1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   ≤ cle 8361   − cmin 8498  ℤcz 9648  ℤ_≥cuz 9930  ...cfz 10421  ♯chash 11228  Basecbs 13401  0_gc0g 13659   Σ_gz cgzsu 13660  CMndccmn 14136   Σ_g cgsu 14199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-inn 9307  df-2 9365  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-seqfrec 10898  df-ihash 11229  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-plusg 13493  df-0g 13661  df-gzsum 13662  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-cmn 14138  df-gsumfi 14200

This theorem is used by: (None)