Theorem logblt 15376

Description: The general logarithm function is strictly monotone/increasing. Property 2 of [Cohen4] p. 377. See logltb 15288. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
logblt	|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( X < Y <-> ( B logb X ) < ( B logb Y ) ) )

Proof of Theorem logblt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> X e. RR+ )
2	1	relogcld 15296	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( log ` X ) e. RR )
3		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> Y e. RR+ )
4	3	relogcld 15296	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( log ` Y ) e. RR )
5		simp1 999	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> B e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6		eluzelz 9656	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. ZZ )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> B e. ZZ )
8	7	zred 9494	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> B e. RR )
9		1z 9397	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
10		1p1e2 9152	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
11	10	fveq2i 5578	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 2 )
12	5, 11	eleqtrrdi 2298	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> B e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
13		eluzp1l 9672	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ B e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 1 < B )
14	9, 12, 13	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> 1 < B )
15	8, 14	rplogcld 15302	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( log ` B ) e. RR+ )
16	2, 4, 15	ltdiv1d 9863	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( ( log ` X ) < ( log ` Y ) <-> ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) < ( ( log ` Y ) / ( log ` B ) ) ) )
17		logltb 15288	. . 3 |- ( ( X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( X < Y <-> ( log ` X ) < ( log ` Y ) ) )
18	17	3adant1 1017	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( X < Y <-> ( log ` X ) < ( log ` Y ) ) )
19		relogbval 15365	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ ) -> ( B logb X ) = ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) )
20	19	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( B logb X ) = ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) )
21		relogbval 15365	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ Y e. RR+ ) -> ( B logb Y ) = ( ( log ` Y ) / ( log ` B ) ) )
22	21	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( B logb Y ) = ( ( log ` Y ) / ( log ` B ) ) )
23	20, 22	breq12d 4056	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( ( B logb X ) < ( B logb Y ) <-> ( ( log ` X ) / ( log ` B ) ) < ( ( log ` Y ) / ( log ` B ) ) ) )
24	16, 18, 23	3bitr4d 220	1 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ X e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( X < Y <-> ( B logb X ) < ( B logb Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   1c1 7925   + caddc 7927   < clt 8106   / cdiv 8744   2c2 9086   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647   RR+crp 9774   logclog 15270   log_b clogb 15357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044  ax-pre-suploc 8045  ax-addf 8046  ax-mulf 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-of 6157  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-map 6736  df-pm 6737  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-ioo 10013  df-ico 10015  df-icc 10016  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-fac 10869  df-bc 10891  df-ihash 10919  df-shft 11068  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-clim 11532  df-sumdc 11607  df-ef 11901  df-e 11902  df-rest 13015  df-topgen 13034  df-psmet 14247  df-xmet 14248  df-met 14249  df-bl 14250  df-mopn 14251  df-top 14412  df-topon 14425  df-bases 14457  df-ntr 14510  df-cn 14602  df-cnp 14603  df-tx 14667  df-cncf 14985  df-limced 15070  df-dvap 15071  df-relog 15272  df-logb 15358

This theorem is referenced by: (None)