Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  logblt GIF version

Theorem logblt 13123
 Description: The general logarithm function is strictly monotone/increasing. Property 2 of [Cohen4] p. 377. See logltb 13039. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
logblt ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐵 logb 𝑋) < (𝐵 logb 𝑌)))

Proof of Theorem logblt
StepHypRef Expression
1 simp2 983 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
21relogcld 13047 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
3 simp3 984 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℝ+)
43relogcld 13047 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
5 simp1 982 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ (ℤ‘2))
6 eluzelz 9388 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
75, 6syl 14 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℤ)
87zred 9226 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 1z 9133 . . . . 5 1 ∈ ℤ
10 1p1e2 8890 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
1110fveq2i 5436 . . . . . 6 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
125, 11eleqtrrdi 2235 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
13 eluzp1l 9403 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 1 < 𝐵)
149, 12, 13sylancr 411 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → 1 < 𝐵)
158, 14rplogcld 13053 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ+)
162, 4, 15ltdiv1d 9588 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑋) < (log‘𝑌) ↔ ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) < ((log‘𝑌) / (log‘𝐵))))
17 logltb 13039 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (log‘𝑋) < (log‘𝑌)))
18173adant1 1000 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (log‘𝑋) < (log‘𝑌)))
19 relogbval 13112 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
20193adant3 1002 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
21 relogbval 13112 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑌 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑌) = ((log‘𝑌) / (log‘𝐵)))
22213adant2 1001 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑌) = ((log‘𝑌) / (log‘𝐵)))
2320, 22breq12d 3952 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → ((𝐵 logb 𝑋) < (𝐵 logb 𝑌) ↔ ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)) < ((log‘𝑌) / (log‘𝐵))))
2416, 18, 233bitr4d 219 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℝ+) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐵 logb 𝑋) < (𝐵 logb 𝑌)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3939  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  1c1 7674   + caddc 7676   < clt 7853   / cdiv 8485  2c2 8824  ℤcz 9107  ℤ≥cuz 9379  ℝ+crp 9499  logclog 13021   logb clogb 13104 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793  ax-pre-suploc 7794  ax-addf 7795  ax-mulf 7796 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1738  df-eu 2004  df-mo 2005  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-disj 3917  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-isom 5144  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-of 5994  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-irdg 6279  df-frec 6300  df-1o 6325  df-oadd 6329  df-er 6441  df-map 6556  df-pm 6557  df-en 6647  df-dom 6648  df-fin 6649  df-sup 6888  df-inf 6889  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-q 9468  df-rp 9500  df-xneg 9618  df-xadd 9619  df-ioo 9734  df-ico 9736  df-icc 9737  df-fz 9851  df-fzo 9980  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-fac 10533  df-bc 10555  df-ihash 10583  df-shft 10648  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-clim 11109  df-sumdc 11184  df-ef 11427  df-e 11428  df-rest 12197  df-topgen 12216  df-psmet 12231  df-xmet 12232  df-met 12233  df-bl 12234  df-mopn 12235  df-top 12240  df-topon 12253  df-bases 12285  df-ntr 12340  df-cn 12432  df-cnp 12433  df-tx 12497  df-cncf 12802  df-limced 12869  df-dvap 12870  df-relog 13023  df-logb 13105 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator