Theorem nnnninfen 16848

Description: Equinumerosity of the natural numbers and ℕ_∞ is equivalent to the Limited Principle of Omniscience (LPO). Remark in Section 1.1 of [Pradic2025], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfen	⊢ (ω ≈ ℕ∞ ↔ ω ∈ Omni)

Proof of Theorem nnnninfen

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfomni 16846	. . 3 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni
2		enomni 7432	. . 3 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ → (ω ∈ Omni ↔ ℕ∞ ∈ Omni))
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ → ω ∈ Omni)
4		lpowlpo 7461	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ∈ WOmni)
5		nninfwlpo 7474	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ω ∈ WOmni)
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦)
7		nninfct 12745	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))
8		infnninf 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
9		elex2 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞ → ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞)
10		ctm 7402	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞ → (∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞))
11	8, 9, 10	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞)
12	7, 11	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞)
13		nninfinf 10812	. . . . . 6 ⊢ ω ≼ ℕ∞
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ≼ ℕ∞)
15		ctinf 13202	. . . . 5 ⊢ (ℕ∞ ≈ ℕ ↔ (∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞ ∧ ω ≼ ℕ∞))
16	6, 12, 14, 15	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Omni → ℕ∞ ≈ ℕ)
17		nnenom 10803	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
18		entr 7026	. . . 4 ⊢ ((ℕ∞ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → ℕ∞ ≈ ω)
19	16, 17, 18	sylancl 413	. . 3 ⊢ (ω ∈ Omni → ℕ∞ ≈ ω)
20	19	ensymd 7025	. 2 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ≈ ℕ∞)
21	3, 20	impbii 126	1 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ ↔ ω ∈ Omni)

Syntax hints:   ↔ wb 105  DECID wdc 842  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   class class class wbr 4111   ↦ cmpt 4173  ωcom 4714  –onto→wfo 5352  1_oc1o 6642   ≈ cen 6975   ≼ cdom 6976   ⊔ cdju 7330  ℕ_∞xnninf 7412  Omnicomni 7427  WOmnicwomni 7456  ℕcn 9242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-map 6886  df-pm 6887  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-sup 7277  df-inf 7278  df-dju 7331  df-inl 7340  df-inr 7341  df-case 7377  df-nninf 7413  df-omni 7428  df-markov 7445  df-womni 7457  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-n0 9502  df-xnn0 9569  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817

This theorem is referenced by: (None)