Theorem nnnninfen 17282

Description: Equinumerosity of the natural numbers and ℕ_∞ is equivalent to the Limited Principle of Omniscience (LPO). Remark in Section 1.1 of [Pradic2025], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfen	⊢ (ω ≈ ℕ∞ ↔ ω ∈ Omni)

Proof of Theorem nnnninfen

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfomni 17280	. . 3 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni
2		enomni 7486	. . 3 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ → (ω ∈ Omni ↔ ℕ∞ ∈ Omni))
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ → ω ∈ Omni)
4		lpowlpo 7515	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ∈ WOmni)
5		nninfwlpo 7528	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ω ∈ WOmni)
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦)
7		nninfct 12844	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))
8		infnninf 7471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
9		elex2 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞ → ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞)
10		ctm 7456	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞ → (∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞))
11	8, 9, 10	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞)
12	7, 11	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞)
13		nninfinf 10902	. . . . . 6 ⊢ ω ≼ ℕ∞
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ≼ ℕ∞)
15		ctinf 13380	. . . . 5 ⊢ (ℕ∞ ≈ ℕ ↔ (∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞ ∧ ω ≼ ℕ∞))
16	6, 12, 14, 15	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Omni → ℕ∞ ≈ ℕ)
17		nnenom 10893	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
18		entr 7076	. . . 4 ⊢ ((ℕ∞ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → ℕ∞ ≈ ω)
19	16, 17, 18	sylancl 417	. . 3 ⊢ (ω ∈ Omni → ℕ∞ ≈ ω)
20	19	ensymd 7075	. 2 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ≈ ℕ∞)
21	3, 20	impbii 126	1 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ ↔ ω ∈ Omni)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105  DECID wdc 846  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ωcom 4739  –onto→wfo 5378  1_oc1o 6684   ≈ cen 7025   ≼ cdom 7026   ⊔ cdju 7384  ℕ_∞xnninf 7466  Omnicomni 7481  WOmnicwomni 7510  ℕcn 9314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-inf 7332  df-dju 7385  df-inl 7394  df-inr 7395  df-case 7431  df-nninf 7467  df-omni 7482  df-markov 7499  df-womni 7511  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-xnn0 9643  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907

This theorem is used by: (None)