Theorem nnnninfen 16417

Description: Equinumerosity of the natural numbers and ℕ_∞ is equivalent to the Limited Principle of Omniscience (LPO). Remark in Section 1.1 of [Pradic2025], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfen	⊢ (ω ≈ ℕ∞ ↔ ω ∈ Omni)

Proof of Theorem nnnninfen

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfomni 16415	. . 3 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni
2		enomni 7314	. . 3 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ → (ω ∈ Omni ↔ ℕ∞ ∈ Omni))
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ → ω ∈ Omni)
4		lpowlpo 7343	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ∈ WOmni)
5		nninfwlpo 7356	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ω ∈ WOmni)
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦)
7		nninfct 12570	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))
8		infnninf 7299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
9		elex2 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞ → ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞)
10		ctm 7284	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞ → (∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞))
11	8, 9, 10	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞)
12	7, 11	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞)
13		nninfinf 10673	. . . . . 6 ⊢ ω ≼ ℕ∞
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ≼ ℕ∞)
15		ctinf 13009	. . . . 5 ⊢ (ℕ∞ ≈ ℕ ↔ (∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞ ∧ ω ≼ ℕ∞))
16	6, 12, 14, 15	syl3anbrc 1205	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Omni → ℕ∞ ≈ ℕ)
17		nnenom 10664	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
18		entr 6944	. . . 4 ⊢ ((ℕ∞ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → ℕ∞ ≈ ω)
19	16, 17, 18	sylancl 413	. . 3 ⊢ (ω ∈ Omni → ℕ∞ ≈ ω)
20	19	ensymd 6943	. 2 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ≈ ℕ∞)
21	3, 20	impbii 126	1 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ ↔ ω ∈ Omni)

Syntax hints:   ↔ wb 105  DECID wdc 839  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ωcom 4682  –onto→wfo 5316  1_oc1o 6561   ≈ cen 6893   ≼ cdom 6894   ⊔ cdju 7212  ℕ_∞xnninf 7294  Omnicomni 7309  WOmnicwomni 7338  ℕcn 9118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7159  df-inf 7160  df-dju 7213  df-inl 7222  df-inr 7223  df-case 7259  df-nninf 7295  df-omni 7310  df-markov 7327  df-womni 7339  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-xnn0 9441  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678

This theorem is referenced by: (None)