Theorem nnnninfen 16160

Description: Equinumerosity of the natural numbers and ℕ_∞ is equivalent to the Limited Principle of Omniscience (LPO). Remark in Section 1.1 of [Pradic2025], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfen	⊢ (ω ≈ ℕ∞ ↔ ω ∈ Omni)

Proof of Theorem nnnninfen

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfomni 16158	. . 3 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni
2		enomni 7267	. . 3 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ → (ω ∈ Omni ↔ ℕ∞ ∈ Omni))
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ → ω ∈ Omni)
4		lpowlpo 7296	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ∈ WOmni)
5		nninfwlpo 7309	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ω ∈ WOmni)
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦)
7		nninfct 12477	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))
8		infnninf 7252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
9		elex2 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞ → ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞)
10		ctm 7237	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞ → (∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞))
11	8, 9, 10	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞)
12	7, 11	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞)
13		nninfinf 10625	. . . . . 6 ⊢ ω ≼ ℕ∞
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ≼ ℕ∞)
15		ctinf 12916	. . . . 5 ⊢ (ℕ∞ ≈ ℕ ↔ (∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞ ∧ ω ≼ ℕ∞))
16	6, 12, 14, 15	syl3anbrc 1184	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Omni → ℕ∞ ≈ ℕ)
17		nnenom 10616	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
18		entr 6899	. . . 4 ⊢ ((ℕ∞ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → ℕ∞ ≈ ω)
19	16, 17, 18	sylancl 413	. . 3 ⊢ (ω ∈ Omni → ℕ∞ ≈ ω)
20	19	ensymd 6898	. 2 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ≈ ℕ∞)
21	3, 20	impbii 126	1 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ ↔ ω ∈ Omni)

Syntax hints:   ↔ wb 105  DECID wdc 836  ∃wex 1516   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486   class class class wbr 4059   ↦ cmpt 4121  ωcom 4656  –onto→wfo 5288  1_oc1o 6518   ≈ cen 6848   ≼ cdom 6849   ⊔ cdju 7165  ℕ_∞xnninf 7247  Omnicomni 7262  WOmnicwomni 7291  ℕcn 9071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-2o 6526  df-er 6643  df-map 6760  df-pm 6761  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-inf 7113  df-dju 7166  df-inl 7175  df-inr 7176  df-case 7212  df-nninf 7248  df-omni 7263  df-markov 7280  df-womni 7292  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-xnn0 9394  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630

This theorem is referenced by: (None)