Theorem nnnninfen 16501

Description: Equinumerosity of the natural numbers and ℕ_∞ is equivalent to the Limited Principle of Omniscience (LPO). Remark in Section 1.1 of [Pradic2025], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfen	⊢ (ω ≈ ℕ∞ ↔ ω ∈ Omni)

Proof of Theorem nnnninfen

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfomni 16499	. . 3 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni
2		enomni 7322	. . 3 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ → (ω ∈ Omni ↔ ℕ∞ ∈ Omni))
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ → ω ∈ Omni)
4		lpowlpo 7351	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ∈ WOmni)
5		nninfwlpo 7364	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ω ∈ WOmni)
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦)
7		nninfct 12583	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))
8		infnninf 7307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
9		elex2 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞ → ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞)
10		ctm 7292	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞ → (∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞))
11	8, 9, 10	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞)
12	7, 11	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞)
13		nninfinf 10682	. . . . . 6 ⊢ ω ≼ ℕ∞
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ≼ ℕ∞)
15		ctinf 13022	. . . . 5 ⊢ (ℕ∞ ≈ ℕ ↔ (∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑧 𝑧:ω–onto→ℕ∞ ∧ ω ≼ ℕ∞))
16	6, 12, 14, 15	syl3anbrc 1205	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Omni → ℕ∞ ≈ ℕ)
17		nnenom 10673	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
18		entr 6949	. . . 4 ⊢ ((ℕ∞ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → ℕ∞ ≈ ω)
19	16, 17, 18	sylancl 413	. . 3 ⊢ (ω ∈ Omni → ℕ∞ ≈ ω)
20	19	ensymd 6948	. 2 ⊢ (ω ∈ Omni → ω ≈ ℕ∞)
21	3, 20	impbii 126	1 ⊢ (ω ≈ ℕ∞ ↔ ω ∈ Omni)

Syntax hints:   ↔ wb 105  DECID wdc 839  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ωcom 4683  –onto→wfo 5319  1_oc1o 6566   ≈ cen 6898   ≼ cdom 6899   ⊔ cdju 7220  ℕ_∞xnninf 7302  Omnicomni 7317  WOmnicwomni 7346  ℕcn 9126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-map 6810  df-pm 6811  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-inf 7168  df-dju 7221  df-inl 7230  df-inr 7231  df-case 7267  df-nninf 7303  df-omni 7318  df-markov 7335  df-womni 7347  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-xnn0 9449  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687

This theorem is referenced by: (None)