Theorem nninfct 12843

Description: The limited principle of omniscience (LPO) implies that ℕ_∞ is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfct	|- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )

Proof of Theorem nninfct

Dummy variables g h i j k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2		eqid 2238	. . . . 5 |- ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) = ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
4	1, 2, 3	nninfctlemfo 12842	. . . 4 |- ( om e. Omni -> ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ )
5		omex 4742	. . . . . . . 8 |- om e. _V
6	5	mptex 5946	. . . . . . 7 |- ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) e. _V
7		frecex 6669	. . . . . . . 8 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) e. _V
8	7	cnvex 5329	. . . . . . 7 |- `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) e. _V
9	6, 8	coex 5336	. . . . . 6 |- ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) e. _V
10		pnfex 8385	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
11		1oex 6699	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
12	11	snex 4324	. . . . . . . . 9 |- { 1o } e. _V
13	5, 12	xpex 4893	. . . . . . . 8 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
14	10, 13	opex 4371	. . . . . . 7 |- <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. e. _V
15	14	snex 4324	. . . . . 6 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } e. _V
16	9, 15	unex 4589	. . . . 5 |- ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) e. _V
17		foeq1 5614	. . . . 5 |- ( f = ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ <-> ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ ) )
18	16, 17	spcev 2920	. . . 4 |- ( ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. f f :NN0* -onto->ℕ∞ )
19		xnn0nnen 10895	. . . . . . . . 9 |- NN0* ~~ NN
20		nnenom 10892	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
21	19, 20	entr2i 7078	. . . . . . . 8 |- om ~~ NN0*
22		bren 7034	. . . . . . . 8 |- ( om ~~ NN0* <-> E. g g : om -1-1-onto->NN0* )
23	21, 22	mpbi 145	. . . . . . 7 |- E. g g : om -1-1-onto->NN0*
24		f1ofo 5649	. . . . . . 7 |- ( g : om -1-1-onto->NN0* -> g : om -onto->NN0* )
25	23, 24	eximii 1655	. . . . . 6 |- E. g g : om -onto->NN0*
26		foco 5629	. . . . . . . . 9 |- ( ( f :NN0* -onto->ℕ∞ /\ g : om -onto->NN0* ) -> ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ )
27		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
28		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
29	27, 28	coex 5336	. . . . . . . . . 10 |- ( f o. g ) e. _V
30		foeq1 5614	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h : om -onto->ℕ∞ <-> ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ ) )
31	29, 30	spcev 2920	. . . . . . . . 9 |- ( ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( f :NN0* -onto->ℕ∞ /\ g : om -onto->NN0* ) -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
33	32	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( g : om -onto->NN0* -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ ) )
34	33	exlimiv 1651	. . . . . 6 |- ( E. g g : om -onto->NN0* -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ ) )
35	25, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
36	35	exlimiv 1651	. . . 4 |- ( E. f f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
37	4, 18, 36	3syl 17	. . 3 |- ( om e. Omni -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
38		foeq1 5614	. . . 4 |- ( h = f -> ( h : om -onto->ℕ∞ <-> f : om -onto->ℕ∞ ) )
39	38	cbvexv 1974	. . 3 |- ( E. h h : om -onto->ℕ∞ <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
40	37, 39	sylib 122	. 2 |- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
41		infnninf 7470	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
42		elex2 2838	. . . 4 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ -> E. j j e. ℕ∞ )
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 |- E. j j e. ℕ∞
44		ctm 7455	. . 3 |- ( E. j j e. ℕ∞ -> ( E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
46	40, 45	sylibr 134	1 |- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1545   e. wcel 2209   u. cun 3218   (/)c0 3520   ifcif 3638   {csn 3709   <.cop 3712   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   omcom 4739   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   o. ccom 4780   -onto->wfo 5378   -1-1-onto->wf1o 5379  (class class class)co 6088  freccfrec 6665   1oc1o 6684   ~~ cen 7024   ⊔ cdju 7383  ℕ_∞xnninf 7465  Omnicomni 7480   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   +oocpnf 8363   NNcn 9313  NN0*cxnn0 9641   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-sup 7330  df-inf 7331  df-dju 7384  df-inl 7393  df-inr 7394  df-case 7430  df-nninf 7466  df-omni 7481  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-xnn0 9642  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567

This theorem is used by:  nnnninfen  17270