Theorem nninfct 12477

Description: The limited principle of omniscience (LPO) implies that ℕ_∞ is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfct	|- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )

Proof of Theorem nninfct

Dummy variables g h i j k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2		eqid 2207	. . . . 5 |- ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) )
3		eqid 2207	. . . . 5 |- ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) = ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
4	1, 2, 3	nninfctlemfo 12476	. . . 4 |- ( om e. Omni -> ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ )
5		omex 4659	. . . . . . . 8 |- om e. _V
6	5	mptex 5833	. . . . . . 7 |- ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) e. _V
7		frecex 6503	. . . . . . . 8 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) e. _V
8	7	cnvex 5240	. . . . . . 7 |- `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) e. _V
9	6, 8	coex 5247	. . . . . 6 |- ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) e. _V
10		pnfex 8161	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
11		1oex 6533	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
12	11	snex 4245	. . . . . . . . 9 |- { 1o } e. _V
13	5, 12	xpex 4808	. . . . . . . 8 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
14	10, 13	opex 4291	. . . . . . 7 |- <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. e. _V
15	14	snex 4245	. . . . . 6 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } e. _V
16	9, 15	unex 4506	. . . . 5 |- ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) e. _V
17		foeq1 5516	. . . . 5 |- ( f = ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ <-> ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ ) )
18	16, 17	spcev 2875	. . . 4 |- ( ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. f f :NN0* -onto->ℕ∞ )
19		xnn0nnen 10619	. . . . . . . . 9 |- NN0* ~~ NN
20		nnenom 10616	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
21	19, 20	entr2i 6902	. . . . . . . 8 |- om ~~ NN0*
22		bren 6858	. . . . . . . 8 |- ( om ~~ NN0* <-> E. g g : om -1-1-onto->NN0* )
23	21, 22	mpbi 145	. . . . . . 7 |- E. g g : om -1-1-onto->NN0*
24		f1ofo 5551	. . . . . . 7 |- ( g : om -1-1-onto->NN0* -> g : om -onto->NN0* )
25	23, 24	eximii 1626	. . . . . 6 |- E. g g : om -onto->NN0*
26		foco 5531	. . . . . . . . 9 |- ( ( f :NN0* -onto->ℕ∞ /\ g : om -onto->NN0* ) -> ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ )
27		vex 2779	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
28		vex 2779	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
29	27, 28	coex 5247	. . . . . . . . . 10 |- ( f o. g ) e. _V
30		foeq1 5516	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h : om -onto->ℕ∞ <-> ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ ) )
31	29, 30	spcev 2875	. . . . . . . . 9 |- ( ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( f :NN0* -onto->ℕ∞ /\ g : om -onto->NN0* ) -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
33	32	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( g : om -onto->NN0* -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ ) )
34	33	exlimiv 1622	. . . . . 6 |- ( E. g g : om -onto->NN0* -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ ) )
35	25, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
36	35	exlimiv 1622	. . . 4 |- ( E. f f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
37	4, 18, 36	3syl 17	. . 3 |- ( om e. Omni -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
38		foeq1 5516	. . . 4 |- ( h = f -> ( h : om -onto->ℕ∞ <-> f : om -onto->ℕ∞ ) )
39	38	cbvexv 1943	. . 3 |- ( E. h h : om -onto->ℕ∞ <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
40	37, 39	sylib 122	. 2 |- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
41		infnninf 7252	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
42		elex2 2793	. . . 4 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ -> E. j j e. ℕ∞ )
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 |- E. j j e. ℕ∞
44		ctm 7237	. . 3 |- ( E. j j e. ℕ∞ -> ( E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
46	40, 45	sylibr 134	1 |- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1516   e. wcel 2178   u. cun 3172   (/)c0 3468   ifcif 3579   {csn 3643   <.cop 3646   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   omcom 4656   X. cxp 4691   `'ccnv 4692   o. ccom 4697   -onto->wfo 5288   -1-1-onto->wf1o 5289  (class class class)co 5967  freccfrec 6499   1oc1o 6518   ~~ cen 6848   ⊔ cdju 7165  ℕ_∞xnninf 7247  Omnicomni 7262   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   +oocpnf 8139   NNcn 9071  NN0*cxnn0 9393   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-2o 6526  df-er 6643  df-map 6760  df-en 6851  df-sup 7112  df-inf 7113  df-dju 7166  df-inl 7175  df-inr 7176  df-case 7212  df-nninf 7248  df-omni 7263  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-xnn0 9394  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16160