Theorem nninfct 12178

Description: The limited principle of omniscience (LPO) implies that ℕ_∞ is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfct	|- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )

Proof of Theorem nninfct

Dummy variables g h i j k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2		eqid 2193	. . . . 5 |- ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) )
3		eqid 2193	. . . . 5 |- ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) = ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
4	1, 2, 3	nninfctlemfo 12177	. . . 4 |- ( om e. Omni -> ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ )
5		omex 4625	. . . . . . . 8 |- om e. _V
6	5	mptex 5784	. . . . . . 7 |- ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) e. _V
7		frecex 6447	. . . . . . . 8 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) e. _V
8	7	cnvex 5204	. . . . . . 7 |- `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) e. _V
9	6, 8	coex 5211	. . . . . 6 |- ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) e. _V
10		pnfex 8073	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
11		1oex 6477	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
12	11	snex 4214	. . . . . . . . 9 |- { 1o } e. _V
13	5, 12	xpex 4774	. . . . . . . 8 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
14	10, 13	opex 4258	. . . . . . 7 |- <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. e. _V
15	14	snex 4214	. . . . . 6 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } e. _V
16	9, 15	unex 4472	. . . . 5 |- ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) e. _V
17		foeq1 5472	. . . . 5 |- ( f = ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ <-> ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ ) )
18	16, 17	spcev 2855	. . . 4 |- ( ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. f f :NN0* -onto->ℕ∞ )
19		xnn0nnen 10508	. . . . . . . . 9 |- NN0* ~~ NN
20		nnenom 10505	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
21	19, 20	entr2i 6841	. . . . . . . 8 |- om ~~ NN0*
22		bren 6801	. . . . . . . 8 |- ( om ~~ NN0* <-> E. g g : om -1-1-onto->NN0* )
23	21, 22	mpbi 145	. . . . . . 7 |- E. g g : om -1-1-onto->NN0*
24		f1ofo 5507	. . . . . . 7 |- ( g : om -1-1-onto->NN0* -> g : om -onto->NN0* )
25	23, 24	eximii 1613	. . . . . 6 |- E. g g : om -onto->NN0*
26		foco 5487	. . . . . . . . 9 |- ( ( f :NN0* -onto->ℕ∞ /\ g : om -onto->NN0* ) -> ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ )
27		vex 2763	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
28		vex 2763	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
29	27, 28	coex 5211	. . . . . . . . . 10 |- ( f o. g ) e. _V
30		foeq1 5472	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h : om -onto->ℕ∞ <-> ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ ) )
31	29, 30	spcev 2855	. . . . . . . . 9 |- ( ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( f :NN0* -onto->ℕ∞ /\ g : om -onto->NN0* ) -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
33	32	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( g : om -onto->NN0* -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ ) )
34	33	exlimiv 1609	. . . . . 6 |- ( E. g g : om -onto->NN0* -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ ) )
35	25, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
36	35	exlimiv 1609	. . . 4 |- ( E. f f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
37	4, 18, 36	3syl 17	. . 3 |- ( om e. Omni -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
38		foeq1 5472	. . . 4 |- ( h = f -> ( h : om -onto->ℕ∞ <-> f : om -onto->ℕ∞ ) )
39	38	cbvexv 1930	. . 3 |- ( E. h h : om -onto->ℕ∞ <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
40	37, 39	sylib 122	. 2 |- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
41		infnninf 7183	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
42		elex2 2776	. . . 4 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ -> E. j j e. ℕ∞ )
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 |- E. j j e. ℕ∞
44		ctm 7168	. . 3 |- ( E. j j e. ℕ∞ -> ( E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
46	40, 45	sylibr 134	1 |- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1503   e. wcel 2164   u. cun 3151   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   <.cop 3621   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   omcom 4622   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   o. ccom 4663   -onto->wfo 5252   -1-1-onto->wf1o 5253  (class class class)co 5918  freccfrec 6443   1oc1o 6462   ~~ cen 6792   ⊔ cdju 7096  ℕ_∞xnninf 7178  Omnicomni 7193   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   +oocpnf 8051   NNcn 8982  NN0*cxnn0 9303   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-map 6704  df-en 6795  df-sup 7043  df-inf 7044  df-dju 7097  df-inl 7106  df-inr 7107  df-case 7143  df-nninf 7179  df-omni 7194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-xnn0 9304  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209

This theorem is referenced by:  nnnninfen  15511