Theorem nninfct 12557

Description: The limited principle of omniscience (LPO) implies that ℕ_∞ is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfct	|- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )

Proof of Theorem nninfct

Dummy variables g h i j k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2		eqid 2229	. . . . 5 |- ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) )
3		eqid 2229	. . . . 5 |- ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) = ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
4	1, 2, 3	nninfctlemfo 12556	. . . 4 |- ( om e. Omni -> ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ )
5		omex 4684	. . . . . . . 8 |- om e. _V
6	5	mptex 5864	. . . . . . 7 |- ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) e. _V
7		frecex 6538	. . . . . . . 8 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) e. _V
8	7	cnvex 5266	. . . . . . 7 |- `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) e. _V
9	6, 8	coex 5273	. . . . . 6 |- ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) e. _V
10		pnfex 8196	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
11		1oex 6568	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
12	11	snex 4268	. . . . . . . . 9 |- { 1o } e. _V
13	5, 12	xpex 4833	. . . . . . . 8 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
14	10, 13	opex 4314	. . . . . . 7 |- <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. e. _V
15	14	snex 4268	. . . . . 6 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } e. _V
16	9, 15	unex 4531	. . . . 5 |- ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) e. _V
17		foeq1 5543	. . . . 5 |- ( f = ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ <-> ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ ) )
18	16, 17	spcev 2898	. . . 4 |- ( ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. f f :NN0* -onto->ℕ∞ )
19		xnn0nnen 10654	. . . . . . . . 9 |- NN0* ~~ NN
20		nnenom 10651	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
21	19, 20	entr2i 6937	. . . . . . . 8 |- om ~~ NN0*
22		bren 6893	. . . . . . . 8 |- ( om ~~ NN0* <-> E. g g : om -1-1-onto->NN0* )
23	21, 22	mpbi 145	. . . . . . 7 |- E. g g : om -1-1-onto->NN0*
24		f1ofo 5578	. . . . . . 7 |- ( g : om -1-1-onto->NN0* -> g : om -onto->NN0* )
25	23, 24	eximii 1648	. . . . . 6 |- E. g g : om -onto->NN0*
26		foco 5558	. . . . . . . . 9 |- ( ( f :NN0* -onto->ℕ∞ /\ g : om -onto->NN0* ) -> ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ )
27		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
28		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
29	27, 28	coex 5273	. . . . . . . . . 10 |- ( f o. g ) e. _V
30		foeq1 5543	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h : om -onto->ℕ∞ <-> ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ ) )
31	29, 30	spcev 2898	. . . . . . . . 9 |- ( ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( f :NN0* -onto->ℕ∞ /\ g : om -onto->NN0* ) -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
33	32	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( g : om -onto->NN0* -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ ) )
34	33	exlimiv 1644	. . . . . 6 |- ( E. g g : om -onto->NN0* -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ ) )
35	25, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
36	35	exlimiv 1644	. . . 4 |- ( E. f f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
37	4, 18, 36	3syl 17	. . 3 |- ( om e. Omni -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
38		foeq1 5543	. . . 4 |- ( h = f -> ( h : om -onto->ℕ∞ <-> f : om -onto->ℕ∞ ) )
39	38	cbvexv 1965	. . 3 |- ( E. h h : om -onto->ℕ∞ <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
40	37, 39	sylib 122	. 2 |- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
41		infnninf 7287	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
42		elex2 2816	. . . 4 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ -> E. j j e. ℕ∞ )
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 |- E. j j e. ℕ∞
44		ctm 7272	. . 3 |- ( E. j j e. ℕ∞ -> ( E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
46	40, 45	sylibr 134	1 |- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1538   e. wcel 2200   u. cun 3195   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   <.cop 3669   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   omcom 4681   X. cxp 4716   `'ccnv 4717   o. ccom 4722   -onto->wfo 5315   -1-1-onto->wf1o 5316  (class class class)co 6000  freccfrec 6534   1oc1o 6553   ~~ cen 6883   ⊔ cdju 7200  ℕ_∞xnninf 7282  Omnicomni 7297   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   +oocpnf 8174   NNcn 9106  NN0*cxnn0 9428   ZZcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-er 6678  df-map 6795  df-en 6886  df-sup 7147  df-inf 7148  df-dju 7201  df-inl 7210  df-inr 7211  df-case 7247  df-nninf 7283  df-omni 7298  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-xnn0 9429  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16346