Theorem nninfct 12737

Description: The limited principle of omniscience (LPO) implies that ℕ_∞ is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfct	|- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )

Proof of Theorem nninfct

Dummy variables g h i j k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . . 5 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2		eqid 2232	. . . . 5 |- ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) = ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) )
3		eqid 2232	. . . . 5 |- ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) = ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
4	1, 2, 3	nninfctlemfo 12736	. . . 4 |- ( om e. Omni -> ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ )
5		omex 4715	. . . . . . . 8 |- om e. _V
6	5	mptex 5912	. . . . . . 7 |- ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) e. _V
7		frecex 6625	. . . . . . . 8 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) e. _V
8	7	cnvex 5301	. . . . . . 7 |- `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) e. _V
9	6, 8	coex 5308	. . . . . 6 |- ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) e. _V
10		pnfex 8327	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
11		1oex 6655	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
12	11	snex 4298	. . . . . . . . 9 |- { 1o } e. _V
13	5, 12	xpex 4866	. . . . . . . 8 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
14	10, 13	opex 4345	. . . . . . 7 |- <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. e. _V
15	14	snex 4298	. . . . . 6 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } e. _V
16	9, 15	unex 4562	. . . . 5 |- ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) e. _V
17		foeq1 5586	. . . . 5 |- ( f = ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ <-> ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ ) )
18	16, 17	spcev 2912	. . . 4 |- ( ( ( ( n e. om |-> ( k e. om |-> if ( k e. n , 1o , (/) ) ) ) o. `'frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. f f :NN0* -onto->ℕ∞ )
19		xnn0nnen 10799	. . . . . . . . 9 |- NN0* ~~ NN
20		nnenom 10796	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
21	19, 20	entr2i 7027	. . . . . . . 8 |- om ~~ NN0*
22		bren 6983	. . . . . . . 8 |- ( om ~~ NN0* <-> E. g g : om -1-1-onto->NN0* )
23	21, 22	mpbi 145	. . . . . . 7 |- E. g g : om -1-1-onto->NN0*
24		f1ofo 5621	. . . . . . 7 |- ( g : om -1-1-onto->NN0* -> g : om -onto->NN0* )
25	23, 24	eximii 1651	. . . . . 6 |- E. g g : om -onto->NN0*
26		foco 5601	. . . . . . . . 9 |- ( ( f :NN0* -onto->ℕ∞ /\ g : om -onto->NN0* ) -> ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ )
27		vex 2816	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
28		vex 2816	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
29	27, 28	coex 5308	. . . . . . . . . 10 |- ( f o. g ) e. _V
30		foeq1 5586	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h : om -onto->ℕ∞ <-> ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ ) )
31	29, 30	spcev 2912	. . . . . . . . 9 |- ( ( f o. g ) : om -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( f :NN0* -onto->ℕ∞ /\ g : om -onto->NN0* ) -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
33	32	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( g : om -onto->NN0* -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ ) )
34	33	exlimiv 1647	. . . . . 6 |- ( E. g g : om -onto->NN0* -> ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ ) )
35	25, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
36	35	exlimiv 1647	. . . 4 |- ( E. f f :NN0* -onto->ℕ∞ -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
37	4, 18, 36	3syl 17	. . 3 |- ( om e. Omni -> E. h h : om -onto->ℕ∞ )
38		foeq1 5586	. . . 4 |- ( h = f -> ( h : om -onto->ℕ∞ <-> f : om -onto->ℕ∞ ) )
39	38	cbvexv 1968	. . 3 |- ( E. h h : om -onto->ℕ∞ <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
40	37, 39	sylib 122	. 2 |- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
41		infnninf 7415	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
42		elex2 2830	. . . 4 |- ( ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ -> E. j j e. ℕ∞ )
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 |- E. j j e. ℕ∞
44		ctm 7400	. . 3 |- ( E. j j e. ℕ∞ -> ( E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto->ℕ∞ )
46	40, 45	sylibr 134	1 |- ( om e. Omni -> E. f f : om -onto-> (ℕ∞ ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1541   e. wcel 2203   u. cun 3209   (/)c0 3508   ifcif 3620   {csn 3689   <.cop 3692   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   omcom 4712   X. cxp 4747   `'ccnv 4748   o. ccom 4753   -onto->wfo 5350   -1-1-onto->wf1o 5351  (class class class)co 6050  freccfrec 6621   1oc1o 6640   ~~ cen 6973   ⊔ cdju 7328  ℕ_∞xnninf 7410  Omnicomni 7425   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   +oocpnf 8305   NNcn 9237  NN0*cxnn0 9563   ZZcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-sup 7275  df-inf 7276  df-dju 7329  df-inl 7338  df-inr 7339  df-case 7375  df-nninf 7411  df-omni 7426  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-xnn0 9564  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16799