ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phiprm GIF version

Theorem phiprm 10979
Description: Value of the Euler ϕ function at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phiprm (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))

Proof of Theorem phiprm
StepHypRef Expression
1 1nn 8327 . . 3 1 ∈ ℕ
2 phiprmpw 10978 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑1)) = ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)))
31, 2mpan2 416 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘(𝑃↑1)) = ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)))
4 prmz 10873 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
54zcnd 8765 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
65exp1d 9916 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑1) = 𝑃)
76fveq2d 5257 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘(𝑃↑1)) = (ϕ‘𝑃))
8 1m1e0 8385 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
98oveq2i 5602 . . . . 5 (𝑃↑(1 − 1)) = (𝑃↑0)
105exp0d 9915 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑0) = 1)
119, 10syl5eq 2127 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑(1 − 1)) = 1)
1211oveq1d 5606 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (1 · (𝑃 − 1)))
13 ax-1cn 7341 . . . . 5 1 ∈ ℂ
14 subcl 7584 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
155, 13, 14sylancl 404 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
1615mulid2d 7409 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (1 · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
1712, 16eqtrd 2115 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
183, 7, 173eqtr3d 2123 1 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  cfv 4969  (class class class)co 5591  cc 7251  0cc0 7253  1c1 7254   · cmul 7258  cmin 7556  cn 8316  cexp 9791  cprime 10869  ϕcphi 10966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367  ax-caucvg 7368
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-frec 6088  df-1o 6113  df-2o 6114  df-oadd 6117  df-er 6222  df-en 6388  df-dom 6389  df-fin 6390  df-sup 6586  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-q 9000  df-rp 9030  df-fz 9320  df-fzo 9444  df-fl 9566  df-mod 9619  df-iseq 9741  df-iexp 9792  df-ihash 10019  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105  df-rsqrt 10258  df-abs 10259  df-dvds 10577  df-gcd 10719  df-prm 10870  df-phi 10967
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator