Theorem recl 11413

Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reval 11409	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
2		cjth 11406	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
3	2	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 9390	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
5	1, 4	eqeltrd 2308	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  ici 8033   + caddc 8034   · cmul 8036   − cmin 8349   / cdiv 8851  2c2 9193  ∗ccj 11399  ℜcre 11400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-2 9201  df-cj 11402  df-re 11403

This theorem is referenced by:  imcl  11414  ref  11415  crre  11417  remim  11420  reim0b  11422  rereb  11423  mulreap  11424  cjreb  11426  recj  11427  reneg  11428  readd  11429  resub  11430  remullem  11431  remul2  11433  redivap  11434  imcj  11435  imneg  11436  imadd  11437  immul2  11440  cjadd  11444  ipcnval  11446  cjmulval  11448  cjmulge0  11449  cjneg  11450  imval2  11454  cnrecnv  11470  recli  11471  recld  11498  cnreim  11538  abs00ap  11622  absrele  11643  releabs  11656  efeul  12294  absef  12330  absefib  12331  efieq1re  12332  abscxp  15638