ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recl GIF version

Theorem recl 10829
Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
recl (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)

Proof of Theorem recl
StepHypRef Expression
1 reval 10825 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = ((๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) / 2))
2 cjth 10822 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„))
32simpld 112 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
43rehalfcld 9136 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + (โˆ—โ€˜๐ด)) / 2) โˆˆ โ„)
51, 4eqeltrd 2252 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2146  โ€˜cfv 5208  (class class class)co 5865  โ„‚cc 7784  โ„cr 7785  ici 7788   + caddc 7789   ยท cmul 7791   โˆ’ cmin 8102   / cdiv 8601  2c2 8941  โˆ—ccj 10815  โ„œcre 10816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-2 8949  df-cj 10818  df-re 10819
This theorem is referenced by:  imcl  10830  ref  10831  crre  10833  remim  10836  reim0b  10838  rereb  10839  mulreap  10840  cjreb  10842  recj  10843  reneg  10844  readd  10845  resub  10846  remullem  10847  remul2  10849  redivap  10850  imcj  10851  imneg  10852  imadd  10853  immul2  10856  cjadd  10860  ipcnval  10862  cjmulval  10864  cjmulge0  10865  cjneg  10866  imval2  10870  cnrecnv  10886  recli  10887  recld  10914  cnreim  10954  abs00ap  11038  absrele  11059  releabs  11072  efeul  11709  absef  11744  absefib  11745  efieq1re  11746  abscxp  13828
  Copyright terms: Public domain W3C validator