Theorem redcwlpolemeq1 14171

Description: Lemma for redcwlpo 14172. A biconditionalized version of trilpolemeq1 14157. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
redcwlpolemeq1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
redcwlpolemeq1.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
redcwlpolemeq1	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Proof of Theorem redcwlpolemeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redcwlpolemeq1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
2	1	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 1) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
3		redcwlpolemeq1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
4		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 1) → 𝐴 = 1)
5	2, 3, 4	trilpolemeq1 14157	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 1) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1)
6		fveqeq2 5508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑥) = 1 ↔ (𝐹‘𝑖) = 1))
7		simplr 526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1)
8		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	rspcdva 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = 1)
10	9	oveq2d 5873	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 1))
11		2nn 9043	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
13	8	nnnn0d 9192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
14	12, 13	nnexpcld 10635	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 8896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
16	14	nnap0d 8928	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) # 0)
17	15, 16	recclapd 8702	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
18	17	mulid1d 7941	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · 1) = (1 / (2↑𝑖)))
19	10, 18	eqtrd 2204	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) = (1 / (2↑𝑖)))
20	19	sumeq2dv 11335	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖)))
21		geoihalfsum 11489	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖)) = 1
22	21	eqcomi 2175	. . 3 ⊢ 1 = Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖))
23	20, 3, 22	3eqtr4g 2229	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 = 1)
24	5, 23	impbida 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1349   ∈ wcel 2142  ∀wral 2449  {cpr 3585  ⟶wf 5196  ‘cfv 5200  (class class class)co 5857  0cc0 7778  1c1 7779   · cmul 7783   / cdiv 8593  ℕcn 8882  2c2 8933  ↑cexp 10479  Σcsu 11320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896  ax-arch 7897  ax-caucvg 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-isom 5209  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-irdg 6353  df-frec 6374  df-1o 6399  df-oadd 6403  df-er 6517  df-en 6723  df-dom 6724  df-fin 6725  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-2 8941  df-3 8942  df-4 8943  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-q 9583  df-rp 9615  df-ico 9855  df-fz 9970  df-fzo 10103  df-seqfrec 10406  df-exp 10480  df-ihash 10714  df-cj 10810  df-re 10811  df-im 10812  df-rsqrt 10966  df-abs 10967  df-clim 11246  df-sumdc 11321

This theorem is referenced by:  redcwlpo  14172  neapmkvlem  14183