Theorem redcwlpolemeq1 16165

Description: Lemma for redcwlpo 16166. A biconditionalized version of trilpolemeq1 16151. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
redcwlpolemeq1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
redcwlpolemeq1.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
redcwlpolemeq1	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Proof of Theorem redcwlpolemeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redcwlpolemeq1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 1) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
3		redcwlpolemeq1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 1) → 𝐴 = 1)
5	2, 3, 4	trilpolemeq1 16151	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 1) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1)
6		fveqeq2 5603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑥) = 1 ↔ (𝐹‘𝑖) = 1))
7		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	rspcdva 2886	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = 1)
10	9	oveq2d 5978	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 1))
11		2nn 9228	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
13	8	nnnn0d 9378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
14	12, 13	nnexpcld 10872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 9080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
16	14	nnap0d 9112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) # 0)
17	15, 16	recclapd 8884	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
18	17	mulridd 8119	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · 1) = (1 / (2↑𝑖)))
19	10, 18	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) = (1 / (2↑𝑖)))
20	19	sumeq2dv 11764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖)))
21		geoihalfsum 11918	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖)) = 1
22	21	eqcomi 2210	. . 3 ⊢ 1 = Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖))
23	20, 3, 22	3eqtr4g 2264	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 = 1)
24	5, 23	impbida 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  {cpr 3639  ⟶wf 5281  ‘cfv 5285  (class class class)co 5962  0cc0 7955  1c1 7956   · cmul 7960   / cdiv 8775  ℕcn 9066  2c2 9117  ↑cexp 10715  Σcsu 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074  ax-caucvg 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-isom 5294  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-irdg 6474  df-frec 6495  df-1o 6520  df-oadd 6524  df-er 6638  df-en 6846  df-dom 6847  df-fin 6848  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-ico 10046  df-fz 10161  df-fzo 10295  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-ihash 10953  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-clim 11675  df-sumdc 11750

This theorem is referenced by:  redcwlpo  16166  neapmkvlem  16178