Theorem redcwlpolemeq1 17009

Description: Lemma for redcwlpo 17010. A biconditionalized version of trilpolemeq1 16994. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
redcwlpolemeq1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
redcwlpolemeq1.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
redcwlpolemeq1	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Proof of Theorem redcwlpolemeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redcwlpolemeq1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 1) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
3		redcwlpolemeq1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 1) → 𝐴 = 1)
5	2, 3, 4	trilpolemeq1 16994	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 1) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1)
6		fveqeq2 5699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑥) = 1 ↔ (𝐹‘𝑖) = 1))
7		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = 1)
10	9	oveq2d 6091	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑖)) · 1))
11		2nn 9445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
13	8	nnnn0d 9599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
14	12, 13	nnexpcld 11111	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 9297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
16	14	nnap0d 9329	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) # 0)
17	15, 16	recclapd 9101	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
18	17	mulridd 8333	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · 1) = (1 / (2↑𝑖)))
19	10, 18	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) = (1 / (2↑𝑖)))
20	19	sumeq2dv 12112	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖)))
21		geoihalfsum 12267	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖)) = 1
22	21	eqcomi 2242	. . 3 ⊢ 1 = Σ𝑖 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑖))
23	20, 3, 22	3eqtr4g 2296	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 = 1)
24	5, 23	impbida 604	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {cpr 3706  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  0cc0 8169  1c1 8170   · cmul 8174   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334  ↑cexp 10953  Σcsu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  redcwlpo  17010  neapmkvlem  17022