Theorem swrd0g 11207

Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0g	|- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )

Proof of Theorem swrd0g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4211	. 2 |- (/) e. _V
2		swrdval 11195	. . 3 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) )
3		fzonlt0 10377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
4	3	biimprd 158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F..^ L ) = (/) -> -. F < L ) )
5	4	con2d 627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L -> -. ( F..^ L ) = (/) ) )
6	5	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) = (/) )
7		ss0 3532	. . . . . . . . 9 |- ( ( F..^ L ) C_ (/) -> ( F..^ L ) = (/) )
8	6, 7	nsyl 631	. . . . . . . 8 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ (/) )
9		dm0 4937	. . . . . . . . . 10 |- dom (/) = (/)
10	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
11	10	sseq2d 3254	. . . . . . . 8 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ dom (/) <-> ( F..^ L ) C_ (/) ) )
12	8, 11	mtbird 677	. . . . . . 7 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom (/) )
13	12	iffalsed 3612	. . . . . 6 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
14	13	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
15		ssidd 3245	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> (/) C_ (/) )
16	3	biimpac 298	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) = (/) )
17	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
18	15, 16, 17	3sstr4d 3269	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) C_ dom (/) )
19	18	iftrued 3609	. . . . . . 7 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
20		zre 9461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
21		zre 9461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ZZ -> F e. RR )
22		lenlt 8233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( L <_ F <-> -. F < L ) )
23	22	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
24	20, 21, 23	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
25		fzo0n 10376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
26	24, 25	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
27	26	biimpac 298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) )
28	27	mpteq1d 4169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
29	28	dmeqd 4925	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
30		ral0 3593	. . . . . . . . . 10 |- A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V
31		dmmptg 5226	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
32	30, 31	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
33	29, 32	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
34		mptrel 4850	. . . . . . . . 9 |- Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) )
35		reldm0 4941	. . . . . . . . 9 |- ( Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
36	34, 35	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
37	33, 36	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
38	19, 37	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
39	38	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
40		zdclt 9535	. . . . . 6 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
41		exmiddc 841	. . . . . 6 |- (DECID F < L -> ( F < L \/ -. F < L ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L \/ -. F < L ) )
43	14, 39, 42	mpjaodan 803	. . . 4 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
44	43	3adant1 1039	. . 3 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
45	2, 44	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
46	1, 45	mp3an1 1358	1 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   <.cop 3669   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   dom cdm 4719   Rel wrel 4724   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8009   0cc0 8010   + caddc 8013   < clt 8192   <_ cle 8193   - cmin 8328   ZZcz 9457  ..^cfzo 10350   substr csubstr 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-substr 11193

This theorem is referenced by:  pfx0g  11223