Theorem swrd0g 11454

Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0g	|- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )

Proof of Theorem swrd0g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4262	. 2 |- (/) e. _V
2		swrdval 11442	. . 3 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) )
3		fzonlt0 10593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
4	3	biimprd 158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F..^ L ) = (/) -> -. F < L ) )
5	4	con2d 633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L -> -. ( F..^ L ) = (/) ) )
6	5	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) = (/) )
7		ss0 3563	. . . . . . . . 9 |- ( ( F..^ L ) C_ (/) -> ( F..^ L ) = (/) )
8	6, 7	nsyl 637	. . . . . . . 8 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ (/) )
9		dm0 4997	. . . . . . . . . 10 |- dom (/) = (/)
10	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
11	10	sseq2d 3278	. . . . . . . 8 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ dom (/) <-> ( F..^ L ) C_ (/) ) )
12	8, 11	mtbird 684	. . . . . . 7 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom (/) )
13	12	iffalsed 3650	. . . . . 6 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
14	13	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
15		ssidd 3269	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> (/) C_ (/) )
16	3	biimpac 298	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) = (/) )
17	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
18	15, 16, 17	3sstr4d 3293	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) C_ dom (/) )
19	18	iftrued 3647	. . . . . . 7 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
20		zre 9659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
21		zre 9659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ZZ -> F e. RR )
22		lenlt 8407	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( L <_ F <-> -. F < L ) )
23	22	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
24	20, 21, 23	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
25		fzo0n 10592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
26	24, 25	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
27	26	biimpac 298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) )
28	27	mpteq1d 4217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
29	28	dmeqd 4985	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
30		ral0 3629	. . . . . . . . . 10 |- A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V
31		dmmptg 5288	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
32	30, 31	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
33	29, 32	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
34		mptrel 4910	. . . . . . . . 9 |- Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) )
35		reldm0 5001	. . . . . . . . 9 |- ( Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
36	34, 35	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
37	33, 36	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
38	19, 37	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
39	38	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
40		zdclt 9733	. . . . . 6 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
41		exmiddc 848	. . . . . 6 |- (DECID F < L -> ( F < L \/ -. F < L ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L \/ -. F < L ) )
43	14, 39, 42	mpjaodan 810	. . . 4 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
44	43	3adant1 1046	. . 3 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
45	2, 44	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
46	1, 45	mp3an1 1365	1 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   <.cop 3712   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   dom cdm 4776   Rel wrel 4781   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   + caddc 8188   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   ZZcz 9655  ..^cfzo 10566   substr csubstr 11439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-substr 11440

This theorem is used by:  pfx0g  11470