Theorem swrd0g 11377

Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0g	|- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )

Proof of Theorem swrd0g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4242	. 2 |- (/) e. _V
2		swrdval 11365	. . 3 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) )
3		fzonlt0 10525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
4	3	biimprd 158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F..^ L ) = (/) -> -. F < L ) )
5	4	con2d 629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L -> -. ( F..^ L ) = (/) ) )
6	5	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) = (/) )
7		ss0 3553	. . . . . . . . 9 |- ( ( F..^ L ) C_ (/) -> ( F..^ L ) = (/) )
8	6, 7	nsyl 633	. . . . . . . 8 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ (/) )
9		dm0 4975	. . . . . . . . . 10 |- dom (/) = (/)
10	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
11	10	sseq2d 3272	. . . . . . . 8 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ dom (/) <-> ( F..^ L ) C_ (/) ) )
12	8, 11	mtbird 680	. . . . . . 7 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom (/) )
13	12	iffalsed 3636	. . . . . 6 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
14	13	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
15		ssidd 3263	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> (/) C_ (/) )
16	3	biimpac 298	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) = (/) )
17	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
18	15, 16, 17	3sstr4d 3287	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) C_ dom (/) )
19	18	iftrued 3633	. . . . . . 7 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
20		zre 9598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
21		zre 9598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ZZ -> F e. RR )
22		lenlt 8365	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( L <_ F <-> -. F < L ) )
23	22	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
24	20, 21, 23	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
25		fzo0n 10524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
26	24, 25	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
27	26	biimpac 298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) )
28	27	mpteq1d 4200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
29	28	dmeqd 4963	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
30		ral0 3615	. . . . . . . . . 10 |- A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V
31		dmmptg 5265	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
32	30, 31	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
33	29, 32	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
34		mptrel 4888	. . . . . . . . 9 |- Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) )
35		reldm0 4979	. . . . . . . . 9 |- ( Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
36	34, 35	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
37	33, 36	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
38	19, 37	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
39	38	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
40		zdclt 9672	. . . . . 6 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
41		exmiddc 844	. . . . . 6 |- (DECID F < L -> ( F < L \/ -. F < L ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L \/ -. F < L ) )
43	14, 39, 42	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
44	43	3adant1 1042	. . 3 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
45	2, 44	eqtrd 2267	. 2 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
46	1, 45	mp3an1 1361	1 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ifcif 3624   <.cop 3697   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   dom cdm 4754   Rel wrel 4759   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498   substr csubstr 11362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-substr 11363

This theorem is referenced by:  pfx0g  11393