Theorem swrd0g 11240

Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0g	|- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )

Proof of Theorem swrd0g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4216	. 2 |- (/) e. _V
2		swrdval 11228	. . 3 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) )
3		fzonlt0 10403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
4	3	biimprd 158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F..^ L ) = (/) -> -. F < L ) )
5	4	con2d 629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L -> -. ( F..^ L ) = (/) ) )
6	5	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) = (/) )
7		ss0 3535	. . . . . . . . 9 |- ( ( F..^ L ) C_ (/) -> ( F..^ L ) = (/) )
8	6, 7	nsyl 633	. . . . . . . 8 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ (/) )
9		dm0 4945	. . . . . . . . . 10 |- dom (/) = (/)
10	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
11	10	sseq2d 3257	. . . . . . . 8 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ dom (/) <-> ( F..^ L ) C_ (/) ) )
12	8, 11	mtbird 679	. . . . . . 7 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom (/) )
13	12	iffalsed 3615	. . . . . 6 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
14	13	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ F < L ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
15		ssidd 3248	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> (/) C_ (/) )
16	3	biimpac 298	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) = (/) )
17	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
18	15, 16, 17	3sstr4d 3272	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) C_ dom (/) )
19	18	iftrued 3612	. . . . . . 7 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
20		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
21		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ZZ -> F e. RR )
22		lenlt 8254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( L <_ F <-> -. F < L ) )
23	22	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
24	20, 21, 23	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
25		fzo0n 10402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
26	24, 25	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
27	26	biimpac 298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) )
28	27	mpteq1d 4174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
29	28	dmeqd 4933	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
30		ral0 3596	. . . . . . . . . 10 |- A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V
31		dmmptg 5234	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
32	30, 31	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
33	29, 32	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
34		mptrel 4858	. . . . . . . . 9 |- Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) )
35		reldm0 4949	. . . . . . . . 9 |- ( Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
36	34, 35	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
37	33, 36	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
38	19, 37	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
39	38	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. F < L ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
40		zdclt 9556	. . . . . 6 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID F < L )
41		exmiddc 843	. . . . . 6 |- (DECID F < L -> ( F < L \/ -. F < L ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L \/ -. F < L ) )
43	14, 39, 42	mpjaodan 805	. . . 4 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
44	43	3adant1 1041	. . 3 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
45	2, 44	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
46	1, 45	mp3an1 1360	1 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ifcif 3605   <.cop 3672   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725   Rel wrel 4730   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   + caddc 8034   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   ZZcz 9478  ..^cfzo 10376   substr csubstr 11225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-substr 11226

This theorem is referenced by:  pfx0g  11256