Theorem swrdnd 11409

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orcomb 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹))
2		df-3or 1010	. . . 4 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿 ≤ 𝐹))
3		orcom 740	. . . 4 ⊢ (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿 ≤ 𝐹) ↔ (𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)))
4	1, 2, 3	3bitri 206	. . 3 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)))
5		simp3 1030	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
6		simp2 1029	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ ℤ)
7		zdcle 9700	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → DECID 𝐿 ≤ 𝐹)
8	5, 6, 7	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID 𝐿 ≤ 𝐹)
9		pm5.63dc 959	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐿 ≤ 𝐹 → ((𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) ↔ (𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (¬ 𝐿 ≤ 𝐹 ∧ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)))))
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) ↔ (𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (¬ 𝐿 ≤ 𝐹 ∧ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)))))
11	4, 10	bitrid 192	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (¬ 𝐿 ≤ 𝐹 ∧ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)))))
12		swrdlend 11408	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
13	12	com12 30	. . . 4 ⊢ (𝐿 ≤ 𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
14		swrdval 11398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
16		0z 9634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℤ
17		zltnle 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
18	16, 17	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
19	18	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
20		lencl 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21	20	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
23		zltnle 9669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
24	22, 5, 23	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
25	19, 24	orbi12d 805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
26	25	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
28	27	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
29		pm3.14 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → ¬ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
31		3simpc 1027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
32	20	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
33	32, 16	jctil 312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
34	33	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
35		zltnle 9669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹))
36	35	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹))
37	36	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝐿 ≤ 𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐹 < 𝐿)
40		ssfzo12bi 10621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
41	31, 34, 39, 40	syl2an23an 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
42	30, 41	mtbird 684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
43		wrddm 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
44	43	sseq2d 3278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
45	44	notbid 677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
46	45	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
47	46	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
48	42, 47	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
49	48	iffalsed 3647	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = ∅)
50	15, 49	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
51	50	exp31 364	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (¬ 𝐿 ≤ 𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
52	51	impcom 125	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐿 ≤ 𝐹 ∧ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
53	13, 52	jaoi 728	. . 3 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (¬ 𝐿 ≤ 𝐹 ∧ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
54	53	com12 30	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (¬ 𝐿 ≤ 𝐹 ∧ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿))) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
55	11, 54	sylbid 150	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∨ w3o 1008   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3635  ⟨cop 3708   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  dom cdm 4769  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  0cc0 8169   + caddc 8172   < clt 8350   ≤ cle 8351   − cmin 8487  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Word cword 11282   substr csubstr 11395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-substr 11396

This theorem is referenced by:  pfxnd  11439  pfxwrdsymbg  11440