Theorem zmodcld 10802

Description: Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zmodcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zmodcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
zmodcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem zmodcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zmodcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		zmodcl 10801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9653   mod cmo 10779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654  df-q 10035  df-rp 10071  df-fl 10721  df-mod 10780

This theorem is used by:  addmodlteq  10855  modfsummodlemstep  12248  dvdsdc  12589  bitsmod  12747  bitsinv1lem  12752  bezoutlemnewy  12797  bezoutlemstep  12798  eucalgval2  12855  eucalglt  12859  eulerthlema  13036  odzdvds  13052  powm2modprm  13059  4sqlemafi  13202  4sqlemffi  13203  4sqleminfi  13204  4sqlem12  13209  ppiqub  16310  lgslem1  16341  lgsval  16345  lgsfvalg  16346  lgsfcl2  16347  lgsval2lem  16351  lgsvalmod  16360  lgsdir2lem4  16372  lgsdir2lem5  16373  lgsdir2  16374  lgsprme0  16383  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414  m1lgs  16426  2lgs  16445  2lgsoddprmlem2  16447  2lgsoddprm  16454