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Theorem tanaddaplem 11778
Description: A useful intermediate step in tanaddap 11779 when showing that the addition of tangents is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
tanaddaplem (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1))

Proof of Theorem tanaddaplem
StepHypRef Expression
1 coscl 11747 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
21ad2antrr 488 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3 coscl 11747 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
43ad2antlr 489 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
52, 4mulcld 8008 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
6 sincl 11746 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
76ad2antrr 488 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
8 sincl 11746 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
98ad2antlr 489 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
107, 9mulcld 8008 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
11 subap0 8630 . . 3 ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
125, 10, 11syl2anc 411 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
13 cosadd 11777 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
1413adantr 276 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
1514breq1d 4028 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0))
16 tanvalap 11748 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
1716ad2ant2r 509 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
18 tanvalap 11748 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) # 0) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
1918ad2ant2l 508 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
2017, 19oveq12d 5914 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) = (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))))
21 simprl 529 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐴) # 0)
22 simprr 531 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐵) # 0)
237, 2, 9, 4, 21, 22divmuldivapd 8819 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
2420, 23eqtrd 2222 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
2524breq1d 4028 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1 ↔ (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))) # 1))
26 1cnd 8003 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → 1 ∈ ℂ)
272, 4, 21, 22mulap0d 8645 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # 0)
2810, 5, 26, 27apdivmuld 8800 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))) # 1 ↔ (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
295mulridd 8004 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
3029breq1d 4028 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
3125, 28, 303bitrd 214 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
3212, 15, 313bitr4d 220 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  cfv 5235  (class class class)co 5896  cc 7839  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844   · cmul 7846  cmin 8158   # cap 8568   / cdiv 8659  sincsin 11684  cosccos 11685  tanctan 11686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-sup 7013  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-ico 9924  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-fac 10738  df-bc 10760  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394  df-ef 11688  df-sin 11690  df-cos 11691  df-tan 11692
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