Theorem tanaddaplem 12289

Description: A useful intermediate step in tanaddap 12290 when showing that the addition of tangents is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tanaddaplem	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1))

Proof of Theorem tanaddaplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 12258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3		coscl 12258	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
4	3	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 8190	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
6		sincl 12257	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
7	6	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
8		sincl 12257	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
9	8	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 8190	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
11		subap0 8813	. . 3 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
12	5, 10, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
13		cosadd 12288	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
15	14	breq1d 4096	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0))
16		tanvalap 12259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
17	16	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
18		tanvalap 12259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) # 0) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
19	18	ad2ant2l 508	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
20	17, 19	oveq12d 6031	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) = (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))))
21		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐴) # 0)
22		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐵) # 0)
23	7, 2, 9, 4, 21, 22	divmuldivapd 9002	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
24	20, 23	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
25	24	breq1d 4096	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1 ↔ (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))) # 1))
26		1cnd 8185	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → 1 ∈ ℂ)
27	2, 4, 21, 22	mulap0d 8828	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # 0)
28	10, 5, 26, 27	apdivmuld 8983	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))) # 1 ↔ (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
29	5	mulridd 8186	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
30	29	breq1d 4096	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
31	25, 28, 30	3bitrd 214	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
32	12, 15, 31	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025   · cmul 8027   − cmin 8340   # cap 8751   / cdiv 8842  sincsin 12195  cosccos 12196  tanctan 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-ico 10119  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-fac 10978  df-bc 11000  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905  df-ef 12199  df-sin 12201  df-cos 12202  df-tan 12203

This theorem is referenced by:  tanaddap  12290