Theorem tanaddaplem 11920

Description: A useful intermediate step in tanaddap 11921 when showing that the addition of tangents is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tanaddaplem	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1))

Proof of Theorem tanaddaplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 11889	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3		coscl 11889	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
4	3	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 8064	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
6		sincl 11888	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
7	6	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
8		sincl 11888	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
9	8	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 8064	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
11		subap0 8687	. . 3 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
12	5, 10, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
13		cosadd 11919	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
15	14	breq1d 4044	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0))
16		tanvalap 11890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
17	16	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
18		tanvalap 11890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) # 0) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
19	18	ad2ant2l 508	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
20	17, 19	oveq12d 5943	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) = (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))))
21		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐴) # 0)
22		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐵) # 0)
23	7, 2, 9, 4, 21, 22	divmuldivapd 8876	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
24	20, 23	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
25	24	breq1d 4044	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1 ↔ (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))) # 1))
26		1cnd 8059	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → 1 ∈ ℂ)
27	2, 4, 21, 22	mulap0d 8702	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # 0)
28	10, 5, 26, 27	apdivmuld 8857	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))) # 1 ↔ (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
29	5	mulridd 8060	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
30	29	breq1d 4044	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
31	25, 28, 30	3bitrd 214	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
32	12, 15, 31	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901   − cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716  sincsin 11826  cosccos 11827  tanctan 11828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-sin 11832  df-cos 11833  df-tan 11834

This theorem is referenced by:  tanaddap  11921