Theorem tanaddaplem 12264

Description: A useful intermediate step in tanaddap 12265 when showing that the addition of tangents is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tanaddaplem	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1))

Proof of Theorem tanaddaplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 12233	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3		coscl 12233	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
4	3	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 8178	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
6		sincl 12232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
7	6	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
8		sincl 12232	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
9	8	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 8178	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
11		subap0 8801	. . 3 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
12	5, 10, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
13		cosadd 12263	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘(𝐴 + 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
15	14	breq1d 4093	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) # 0))
16		tanvalap 12234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
17	16	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
18		tanvalap 12234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) # 0) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
19	18	ad2ant2l 508	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (tan‘𝐵) = ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵)))
20	17, 19	oveq12d 6025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) = (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))))
21		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐴) # 0)
22		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (cos‘𝐵) # 0)
23	7, 2, 9, 4, 21, 22	divmuldivapd 8990	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) · ((sin‘𝐵) / (cos‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
24	20, 23	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
25	24	breq1d 4093	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1 ↔ (((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))) # 1))
26		1cnd 8173	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → 1 ∈ ℂ)
27	2, 4, 21, 22	mulap0d 8816	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # 0)
28	10, 5, 26, 27	apdivmuld 8971	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) / ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵))) # 1 ↔ (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
29	5	mulridd 8174	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
30	29	breq1d 4093	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) · 1) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
31	25, 28, 30	3bitrd 214	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → (((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1 ↔ ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) # ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
32	12, 15, 31	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) # 0 ∧ (cos‘𝐵) # 0)) → ((cos‘(𝐴 + 𝐵)) # 0 ↔ ((tan‘𝐴) · (tan‘𝐵)) # 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   · cmul 8015   − cmin 8328   # cap 8739   / cdiv 8830  sincsin 12170  cosccos 12171  tanctan 12172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7162  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-ico 10102  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-bc 10982  df-ihash 11010  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-sumdc 11880  df-ef 12174  df-sin 12176  df-cos 12177  df-tan 12178

This theorem is referenced by:  tanaddap  12265