Theorem caucvgrelemrec 10943

Description: Two ways to express a reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
caucvgrelemrec	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (℩𝑟 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑟

Proof of Theorem caucvgrelemrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerecclap 8647	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
2		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℝ)
3	2	recnd 7948	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℂ)
4		simpll 524	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 7948	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simplr 525	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝐴 # 0)
7		ax-1cn 7867	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		divmulap 8592	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → ((1 / 𝐴) = 𝑟 ↔ (𝐴 · 𝑟) = 1))
9	7, 8	mp3an1 1319	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → ((1 / 𝐴) = 𝑟 ↔ (𝐴 · 𝑟) = 1))
10	3, 5, 6, 9	syl12anc 1231	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) = 𝑟 ↔ (𝐴 · 𝑟) = 1))
11		eqcom 2172	. . 3 ⊢ ((1 / 𝐴) = 𝑟 ↔ 𝑟 = (1 / 𝐴))
12	10, 11	bitr3di 194	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑟) = 1 ↔ 𝑟 = (1 / 𝐴)))
13	1, 12	riota5 5834	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (℩𝑟 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℩crio 5808  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779   # cap 8500   / cdiv 8589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590

This theorem is referenced by:  caucvgrelemcau  10944