Theorem divmulap 8296

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divmulap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem divmulap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divvalap 8295	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
2	1	3expb 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
3	2	3adant2 968	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
4	3	eqeq1d 2108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
5		simp2 950	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		receuap 8291	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
7	6	3expb 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
8	7	3adant2 968	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
9		oveq2 5714	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝐵))
10	9	eqeq1d 2108	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐶 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))
11	10	riota2 5684	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
12	5, 8, 11	syl2anc 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
13	4, 12	bitr4d 190	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ∃!wreu 2377   class class class wbr 3875  ℩crio 5661  (class class class)co 5706  ℂcc 7498  0cc0 7500   · cmul 7505   # cap 8209   / cdiv 8293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294

This theorem is referenced by:  divmulap2  8297  divcanap2  8301  divrecap  8309  divcanap3  8319  div0ap  8323  div1  8324  recrecap  8330  rec11ap  8331  divdivdivap  8334  ddcanap  8347  rerecclap  8351  div2negap  8356  divmulapzi  8384  divmulapd  8433  caucvgrelemrec  10591  odd2np1  11365  sqgcd  11510