ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divmulap GIF version

Theorem divmulap 8663
Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divmulap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem divmulap
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divvalap 8662 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
213expb 1206 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 𝐶) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
323adant2 1018 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 𝐶) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
43eqeq1d 2198 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
5 simp2 1000 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 receuap 8657 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
763expb 1206 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
873adant2 1018 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
9 oveq2 5905 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝐵))
109eqeq1d 2198 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐶 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))
1110riota2 5875 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
125, 8, 11syl2anc 411 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
134, 12bitr4d 191 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  ∃!wreu 2470   class class class wbr 4018  crio 5851  (class class class)co 5897  cc 7840  0cc0 7842   · cmul 7847   # cap 8569   / cdiv 8660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661
This theorem is referenced by:  divmulap2  8664  divcanap2  8668  divrecap  8676  divcanap3  8686  div0ap  8690  div1  8691  recrecap  8697  rec11ap  8698  divdivdivap  8701  ddcanap  8714  rerecclap  8718  div2negap  8723  divmulapzi  8751  divmulapd  8800  caucvgrelemrec  11023  odd2np1  11913  sqgcd  12065  oddprmdvds  12389
  Copyright terms: Public domain W3C validator