Theorem divmulap 8954

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divmulap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem divmulap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divvalap 8953	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
2	1	3expb 1231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
3	2	3adant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
4	3	eqeq1d 2243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
5		simp2 1025	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		receuap 8948	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
7	6	3expb 1231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
8	7	3adant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
9		oveq2 6060	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝐵))
10	9	eqeq1d 2243	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐶 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))
11	10	riota2 6029	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
12	5, 8, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
13	4, 12	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃!wreu 2524   class class class wbr 4111  ℩crio 6004  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132   · cmul 8137   # cap 8860   / cdiv 8951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952

This theorem is referenced by:  divmulap2  8955  divcanap2  8959  divrecap  8967  divcanap3  8977  div0ap  8981  div1  8982  recrecap  8988  rec11ap  8989  divdivdivap  8992  ddcanap  9005  rerecclap  9009  div2negap  9014  divmulapzi  9042  divmulapd  9091  caucvgrelemrec  11672  odd2np1  12567  sqgcd  12733  oddprmdvds  13060