Theorem rerecclap 8909

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rerecclap	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerecclap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8178	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		apreap 8766	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 #ℝ 0))
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 #ℝ 0))
4	3	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0))
5		recexre 8757	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
7		eqcom 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝑥)
8		1cnd 8194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
11		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 8207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 # 0)
14		divmulap 8854	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → ((1 / 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
15	8, 10, 12, 13, 14	syl112anc 1277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
16	7, 15	bitrid 192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
17	16	rexbidva 2529	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
18	6, 17	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴))
19		risset 2560	. 2 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴))
20	18, 19	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032   · cmul 8036   #_ℝ creap 8753   # cap 8760   / cdiv 8851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852

This theorem is referenced by:  redivclap  8910  rerecclapzi  8955  rerecclapd  9013  rerecapb  9022  ltdiv2  9066  recnz  9572  reexpclzap  10820  redivap  11434  imdivap  11441  caucvgrelemrec  11539  trirec0  16648