Theorem rerecclap 8113

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rerecclap	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerecclap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7409	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		apreap 7982	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 #ℝ 0))
3	1, 2	mpan2 416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 #ℝ 0))
4	3	pm5.32i 442	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0))
5		recexre 7973	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
6	4, 5	sylbi 119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
7		eqcom 2087	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝑥)
8		1cnd 7425	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9		simpr 108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	recnd 7437	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
11		simpll 496	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 7437	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		simplr 497	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 # 0)
14		divmulap 8058	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → ((1 / 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
15	8, 10, 12, 13, 14	syl112anc 1176	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
16	7, 15	syl5bb 190	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
17	16	rexbidva 2373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
18	6, 17	mpbird 165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴))
19		risset 2402	. 2 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 = (1 / 𝐴))
20	18, 19	sylibr 132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  ∃wrex 2356   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594  ℂcc 7269  ℝcr 7270  0cc0 7271  1c1 7272   · cmul 7276   #_ℝ creap 7969   # cap 7976   / cdiv 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056

This theorem is referenced by:  redivclap  8114  rerecclapzi  8159  rerecclapd  8214  ltdiv2  8260  recnz  8749  reexpclzap  9826  redivap  10149  imdivap  10156  caucvgrelemrec  10253