Theorem edg0iedg0g 16290

Description: There is no edge in a graph iff its edge function is empty. (Contributed by AV, 15-Dec-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
edg0iedg0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
edg0iedg0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edg0iedg0g	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))

Proof of Theorem edg0iedg0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edg0iedg0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2		edgvalg 16283	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
3	1, 2	eqtrid 2283	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺))
4	3	eqeq1d 2247	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸 = ∅ ↔ ran (iEdg‘𝐺) = ∅))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ ran (iEdg‘𝐺) = ∅))
6		edg0iedg0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7	6	eqcomi 2242	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
8	7	rneqi 5008	. . . 4 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
9	8	eqeq1i 2246	. . 3 ⊢ (ran (iEdg‘𝐺) = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅)
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (ran (iEdg‘𝐺) = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅))
11		funrel 5392	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐼 → Rel 𝐼)
12		relrn0 5042	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐼 → (𝐼 = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅))
13	12	bicomd 141	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐼 → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
14	11, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (Fun 𝐼 → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
15	14	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
16	5, 10, 15	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  ran crn 4773  Rel wrel 4777  Fun wfun 5369  ‘cfv 5375  iEdgciedg 16237  Edgcedg 16281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fo 5381  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-2nd 6369  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-edgf 16229  df-iedg 16239  df-edg 16282

This theorem is referenced by:  uhgriedg0edg0  16359  egrsubgr  16487