Theorem edg0iedg0g 15910

Description: There is no edge in a graph iff its edge function is empty. (Contributed by AV, 15-Dec-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
edg0iedg0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
edg0iedg0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edg0iedg0g	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))

Proof of Theorem edg0iedg0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edg0iedg0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2		edgvalg 15903	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
3	1, 2	eqtrid 2274	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺))
4	3	eqeq1d 2238	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸 = ∅ ↔ ran (iEdg‘𝐺) = ∅))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ ran (iEdg‘𝐺) = ∅))
6		edg0iedg0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7	6	eqcomi 2233	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
8	7	rneqi 4958	. . . 4 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
9	8	eqeq1i 2237	. . 3 ⊢ (ran (iEdg‘𝐺) = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅)
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (ran (iEdg‘𝐺) = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅))
11		funrel 5341	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐼 → Rel 𝐼)
12		relrn0 4992	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐼 → (𝐼 = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅))
13	12	bicomd 141	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐼 → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
14	11, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (Fun 𝐼 → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
15	14	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
16	5, 10, 15	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∅c0 3492  ran crn 4724  Rel wrel 4728  Fun wfun 5318  ‘cfv 5324  iEdgciedg 15857  Edgcedg 15901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fo 5330  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-2nd 6299  df-sub 8345  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-dec 9605  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-edgf 15849  df-iedg 15859  df-edg 15902

This theorem is referenced by:  uhgriedg0edg0  15979