Theorem edg0iedg0g 15944

Description: There is no edge in a graph iff its edge function is empty. (Contributed by AV, 15-Dec-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
edg0iedg0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
edg0iedg0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edg0iedg0g	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))

Proof of Theorem edg0iedg0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edg0iedg0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2		edgvalg 15937	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
3	1, 2	eqtrid 2276	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺))
4	3	eqeq1d 2240	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸 = ∅ ↔ ran (iEdg‘𝐺) = ∅))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ ran (iEdg‘𝐺) = ∅))
6		edg0iedg0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7	6	eqcomi 2235	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
8	7	rneqi 4960	. . . 4 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
9	8	eqeq1i 2239	. . 3 ⊢ (ran (iEdg‘𝐺) = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅)
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (ran (iEdg‘𝐺) = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅))
11		funrel 5343	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐼 → Rel 𝐼)
12		relrn0 4994	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐼 → (𝐼 = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅))
13	12	bicomd 141	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐼 → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
14	11, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (Fun 𝐼 → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
15	14	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
16	5, 10, 15	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∅c0 3494  ran crn 4726  Rel wrel 4730  Fun wfun 5320  ‘cfv 5326  iEdgciedg 15891  Edgcedg 15935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-2nd 6307  df-sub 8355  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-dec 9615  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-edgf 15883  df-iedg 15893  df-edg 15936

This theorem is referenced by:  uhgriedg0edg0  16013  egrsubgr  16141