Theorem edg0iedg0g 15660

Description: There is no edge in a graph iff its edge function is empty. (Contributed by AV, 15-Dec-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
edg0iedg0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
edg0iedg0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edg0iedg0g	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))

Proof of Theorem edg0iedg0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edg0iedg0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2		edgvalg 15654	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
3	1, 2	eqtrid 2250	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺))
4	3	eqeq1d 2214	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸 = ∅ ↔ ran (iEdg‘𝐺) = ∅))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ ran (iEdg‘𝐺) = ∅))
6		edg0iedg0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7	6	eqcomi 2209	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
8	7	rneqi 4906	. . . 4 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
9	8	eqeq1i 2213	. . 3 ⊢ (ran (iEdg‘𝐺) = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅)
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (ran (iEdg‘𝐺) = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅))
11		funrel 5288	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐼 → Rel 𝐼)
12		relrn0 4940	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐼 → (𝐼 = ∅ ↔ ran 𝐼 = ∅))
13	12	bicomd 141	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐼 → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
14	11, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (Fun 𝐼 → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
15	14	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (ran 𝐼 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
16	5, 10, 15	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐼) → (𝐸 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∅c0 3460  ran crn 4676  Rel wrel 4680  Fun wfun 5265  ‘cfv 5271  iEdgciedg 15612  Edgcedg 15652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-2nd 6227  df-sub 8245  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-dec 9505  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-edgf 15604  df-iedg 15614  df-edg 15653

This theorem is referenced by: (None)