Theorem structgr2slots2dom 15857

Description: There are at least two elements in a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
structgrssvtx.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
structgrssvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
structgrssvtx.s	⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
structgr2slots2dom	⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)

Proof of Theorem structgr2slots2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13103	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
3		edgfndxnn 15824	. . 3 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
5		structgrssvtx.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
6		structgrssvtx.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
7		structgrssvtx.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
8		structex 13059	. . 3 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
10		basendxnedgfndx 15827	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
11	10	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx))
12		structgrssvtx.s	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
13	2, 4, 5, 6, 9, 11, 12	hashdmprop2dom 11079	1 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  {cpr 3667  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  dom cdm 4719  ‘cfv 5318  2_oc2o 6562   ≼ cdom 6894  ℕcn 9121   Struct cstr 13043  ndxcnx 13044  Basecbs 13047  .efcedgf 15820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1o 6568  df-2o 6569  df-en 6896  df-dom 6897  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-dec 9590  df-struct 13049  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-edgf 15821

This theorem is referenced by:  structgrssvtx  15858  structgrssiedg  15859