Theorem structgr2slots2dom 15965

Description: There are at least two elements in a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
structgrssvtx.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
structgrssvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
structgrssvtx.s	⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
structgr2slots2dom	⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)

Proof of Theorem structgr2slots2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13201	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
3		edgfndxnn 15932	. . 3 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
5		structgrssvtx.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
6		structgrssvtx.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
7		structgrssvtx.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
8		structex 13157	. . 3 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
10		basendxnedgfndx 15935	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
11	10	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx))
12		structgrssvtx.s	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
13	2, 4, 5, 6, 9, 11, 12	hashdmprop2dom 11154	1 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201  {cpr 3674  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  dom cdm 4731  ‘cfv 5333  2_oc2o 6619   ≼ cdom 6951  ℕcn 9185   Struct cstr 13141  ndxcnx 13142  Basecbs 13145  .efcedgf 15928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-en 6953  df-dom 6954  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-struct 13147  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929

This theorem is referenced by:  structgrssvtx  15966  structgrssiedg  15967