Theorem structgr2slots2dom 16036

Description: There are at least two elements in a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
structgrssvtx.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
structgrssvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
structgrssvtx.s	⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
structgr2slots2dom	⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)

Proof of Theorem structgr2slots2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 13268	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
3		edgfndxnn 16003	. . 3 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
5		structgrssvtx.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
6		structgrssvtx.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
7		structgrssvtx.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
8		structex 13224	. . 3 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
10		basendxnedgfndx 16006	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
11	10	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx))
12		structgrssvtx.s	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
13	2, 4, 5, 6, 9, 11, 12	hashdmprop2dom 11216	1 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211  {cpr 3690  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  ‘cfv 5352  2_oc2o 6641   ≼ cdom 6974  ℕcn 9237   Struct cstr 13208  ndxcnx 13209  Basecbs 13212  .efcedgf 15999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-en 6976  df-dom 6977  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-struct 13214  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000

This theorem is referenced by:  structgrssvtx  16037  structgrssiedg  16038