Theorem structgr2slots2dom 15715

Description: There are at least two elements in a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
structgrssvtx.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
structgrssvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
structgrssvtx.s	⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
structgr2slots2dom	⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)

Proof of Theorem structgr2slots2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnn 12963	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
3		edgfndxnn 15682	. . 3 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
5		structgrssvtx.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
6		structgrssvtx.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
7		structgrssvtx.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
8		structex 12919	. . 3 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
10		basendxnedgfndx 15685	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
11	10	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx))
12		structgrssvtx.s	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
13	2, 4, 5, 6, 9, 11, 12	hashdmprop2dom 11011	1 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  {cpr 3639  ⟨cop 3641   class class class wbr 4051  dom cdm 4683  ‘cfv 5280  2_oc2o 6509   ≼ cdom 6839  ℕcn 9056   Struct cstr 12903  ndxcnx 12904  Basecbs 12907  .efcedgf 15678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1o 6515  df-2o 6516  df-en 6841  df-dom 6842  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-dec 9525  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-edgf 15679

This theorem is referenced by:  structgrssvtx  15716  structgrssiedg  15717