Theorem edgupgren 16065

Description: Properties of an edge of a pseudograph. (Contributed by AV, 8-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
edgupgren	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐸 ≈ 1o ∨ 𝐸 ≈ 2o)))

Proof of Theorem edgupgren

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgvalg 15983	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
2	1	eleq2d 2301	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝐸 ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
3	2	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ ran (iEdg‘𝐺))
4		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	upgrfen 16021	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
7	6	frnd 5499	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
8	7	sseld 3227	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐸 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐸 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
10	3, 9	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
11		breq1 4096	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 ≈ 1o ↔ 𝐸 ≈ 1o))
12		breq1 4096	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 ≈ 2o ↔ 𝐸 ≈ 2o))
13	11, 12	orbi12d 801	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ↔ (𝐸 ≈ 1o ∨ 𝐸 ≈ 2o)))
14	13	elrab 2963	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐸 ≈ 1o ∨ 𝐸 ≈ 2o)))
15	10, 14	sylib 122	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐸 ≈ 1o ∨ 𝐸 ≈ 2o)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515  𝒫 cpw 3656   class class class wbr 4093  dom cdm 4731  ran crn 4732  ‘cfv 5333  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   ≈ cen 6950  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  Edgcedg 15981  UPGraphcupgr 16015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fo 5339  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-sub 8394  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-dec 9656  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-edg 15982  df-upgren 16017

This theorem is referenced by: (None)