Theorem edgupgren 16018

Description: Properties of an edge of a pseudograph. (Contributed by AV, 8-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
edgupgren	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐸 ≈ 1o ∨ 𝐸 ≈ 2o)))

Proof of Theorem edgupgren

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgvalg 15936	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
2	1	eleq2d 2300	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ 𝐸 ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
3	2	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ ran (iEdg‘𝐺))
4		eqid 2230	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2230	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	upgrfen 15974	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
7	6	frnd 5491	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
8	7	sseld 3225	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐸 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐸 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
10	3, 9	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
11		breq1 4090	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 ≈ 1o ↔ 𝐸 ≈ 1o))
12		breq1 4090	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 ≈ 2o ↔ 𝐸 ≈ 2o))
13	11, 12	orbi12d 800	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ↔ (𝐸 ≈ 1o ∨ 𝐸 ≈ 2o)))
14	13	elrab 2961	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐸 ≈ 1o ∨ 𝐸 ≈ 2o)))
15	10, 14	sylib 122	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐸 ≈ 1o ∨ 𝐸 ≈ 2o)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  {crab 2513  𝒫 cpw 3651   class class class wbr 4087  dom cdm 4724  ran crn 4725  ‘cfv 5325  1_oc1o 6577  2_oc2o 6578   ≈ cen 6909  Vtxcvtx 15889  iEdgciedg 15890  Edgcedg 15934  UPGraphcupgr 15968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-cnre 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-if 3605  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-id 4389  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-fo 5331  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-sub 8354  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-4 9206  df-5 9207  df-6 9208  df-7 9209  df-8 9210  df-9 9211  df-n0 9405  df-dec 9614  df-ndx 13105  df-slot 13106  df-base 13108  df-edgf 15882  df-vtx 15891  df-iedg 15892  df-edg 15935  df-upgren 15970

This theorem is referenced by: (None)