Theorem edgumgren 15955

Description: Properties of an edge of a multigraph. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
edgumgren	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐸 ≈ 2o))

Proof of Theorem edgumgren

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgvalg 15875	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
2		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	umgrfen 15922	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
5	4	frnd 5483	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
6	1, 5	eqsstrd 3260	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
7	6	sselda 3224	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
8		breq1 4086	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 ≈ 2o ↔ 𝐸 ≈ 2o))
9	8	elrab 2959	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐸 ≈ 2o))
10	7, 9	sylib 122	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐸 ≈ 2o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  {crab 2512  𝒫 cpw 3649   class class class wbr 4083  dom cdm 4719  ran crn 4720  ‘cfv 5318  2_oc2o 6562   ≈ cen 6893  Vtxcvtx 15828  iEdgciedg 15829  Edgcedg 15873  UMGraphcumgr 15907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-sub 8330  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-dec 9590  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-edgf 15821  df-vtx 15830  df-iedg 15831  df-edg 15874  df-umgren 15909

This theorem is referenced by:  umgredg  15958  umgrpredgv  15960  umgredgne  15963  umgredgnlp  15965