Theorem fzrev3 9984

Description: The "complement" of a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrev3	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Proof of Theorem fzrev3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzel1 9922	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		elfzel2 9921	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	1, 3, 5	3jca 1162	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		elfzel1 9922	. . . 4 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		elfzel2 9921	. . . 4 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	7, 9, 11	3jca 1162	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
13		zcn 9167	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		zcn 9167	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		pncan 8076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
16		pncan2 8077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
17	15, 16	oveq12d 5839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) = (𝑀...𝑁))
18	13, 14, 17	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) = (𝑀...𝑁))
19	18	eleq2d 2227	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
20	19	3adant1 1000	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
21		3simpc 981	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22		zaddcl 9202	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
23	22	3adant1 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
24		simp1 982	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
25		fzrev 9981	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) ↔ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
26	21, 23, 24, 25	syl12anc 1218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) ↔ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
27	20, 26	bitr3d 189	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
28	6, 12, 27	pm5.21nd 902	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  (class class class)co 5821  ℂcc 7725   + caddc 7730   − cmin 8041  ℤcz 9162  ...cfz 9907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-addcom 7827  ax-addass 7829  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-ltadd 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-inn 8829  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-fz 9908

This theorem is referenced by:  fzrev3i  9985