Theorem elfzm1b 10522

Description: An integer is a member of a 1-based finite set of sequential integers iff its predecessor is a member of the corresponding 0-based set. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elfzm1b	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem elfzm1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9681	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fzsubel 10483	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
3	1, 2	mpanl1 438	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
4	1, 3	mpanr2 442	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
5		1m1e0 9382	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
6	5	oveq1i 6098	. . . 4 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
7	6	eleq2i 2305	. . 3 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
8	4, 7	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1))))
9	8	ancoms 268	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  0cc0 8185  1c1 8186   − cmin 8504  ℤcz 9655  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-fz 10429

This theorem is used by:  elfzom1b  10664  bcpasc  11226