Theorem elfzm1b 10290

Description: An integer is a member of a 1-based finite set of sequential integers iff its predecessor is a member of the corresponding 0-based set. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elfzm1b	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem elfzm1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9468	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fzsubel 10252	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
3	1, 2	mpanl1 434	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
4	1, 3	mpanr2 438	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
5		1m1e0 9175	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
6	5	oveq1i 6010	. . . 4 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
7	6	eleq2i 2296	. . 3 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
8	4, 7	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1))))
9	8	ancoms 268	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996   − cmin 8313  ℤcz 9442  ...cfz 10200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-fz 10201

This theorem is referenced by:  elfzom1b  10430  bcpasc  10983