Theorem elfzm1b 9573

Description: An integer is a member of a 1-based finite set of sequential integers iff its predecessor is a member of the corresponding 0-based set. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elfzm1b	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem elfzm1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 8837	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fzsubel 9535	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
3	1, 2	mpanl1 426	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
4	1, 3	mpanr2 430	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
5		1m1e0 8552	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
6	5	oveq1i 5676	. . . 4 ⊢ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
7	6	eleq2i 2155	. . 3 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
8	4, 7	syl6bb 195	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1))))
9	8	ancoms 265	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1439  (class class class)co 5666  0cc0 7411  1c1 7412   − cmin 7714  ℤcz 8811  ...cfz 9485

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-fz 9486

This theorem is referenced by:  elfzom1b  9701  bcpasc  10235