Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssblps GIF version

Theorem ssblps 12764
 Description: The size of a ball increases monotonically with its radius. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssblps (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))

Proof of Theorem ssblps
StepHypRef Expression
1 simp1l 1006 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2 simp1r 1007 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑃𝑋)
3 simp2l 1008 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4 simp2r 1009 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑆 ∈ ℝ*)
5 psmet0 12666 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
653ad2ant1 1003 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
7 0re 7857 . . 3 0 ∈ ℝ
86, 7eqeltrdi 2245 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑃𝐷𝑃) ∈ ℝ)
9 simp3 984 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅𝑆)
10 xsubge0 9763 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ↔ 𝑅𝑆))
114, 3, 10syl2anc 409 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (0 ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅) ↔ 𝑅𝑆))
129, 11mpbird 166 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → 0 ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
136, 12eqbrtrd 3982 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑃𝐷𝑃) ≤ (𝑆 +𝑒 -𝑒𝑅))
141, 2, 2, 3, 4, 8, 13xblss2ps 12743 1 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   ⊆ wss 3098   class class class wbr 3961  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  ℝcr 7710  0cc0 7711  ℝ*cxr 7890   ≤ cle 7892  -𝑒cxne 9654   +𝑒 cxad 9655  PsMetcpsmet 12318  ballcbl 12321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-map 6584  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-2 8871  df-xneg 9657  df-xadd 9658  df-psmet 12326  df-bl 12329 This theorem is referenced by:  blssps  12766
 Copyright terms: Public domain W3C validator