Theorem m1expcl2 11019

Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expcl2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 9418	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		prid1g 3815	. . 3 ⊢ ( -1 ∈ ℂ → -1 ∈ { -1, 1})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ -1 ∈ { -1, 1}
4		neg1ap0 9422	. 2 ⊢ -1 # 0
5		ax-1cn 8278	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		prssi 3873	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → { -1, 1} ⊆ ℂ)
7	1, 5, 6	mp2an 430	. . 3 ⊢ { -1, 1} ⊆ ℂ
8		elpri 3732	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ { -1, 1} → (𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1))
9	7	sseli 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → 𝑦 ∈ ℂ)
10	9	mulm1d 8744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → ( -1 · 𝑦) = -𝑦)
11		elpri 3732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → (𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1))
12		negeq 8526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 = - -1)
13		negneg1e1 9423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ - -1 = 1
14		1ex 8327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
15	14	prid2 3818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ { -1, 1}
16	13, 15	eqeltri 2311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ - -1 ∈ { -1, 1}
17	12, 16	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 ∈ { -1, 1})
18		negeq 8526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 = -1)
19	18, 3	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 ∈ { -1, 1})
20	17, 19	jaoi 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1) → -𝑦 ∈ { -1, 1})
21	11, 20	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → -𝑦 ∈ { -1, 1})
22	10, 21	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → ( -1 · 𝑦) ∈ { -1, 1})
23		oveq1 6095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑥 · 𝑦) = ( -1 · 𝑦))
24	23	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1} ↔ ( -1 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
25	22, 24	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑦 ∈ { -1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
26	9	mullidd 8350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → (1 · 𝑦) = 𝑦)
27		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → 𝑦 ∈ { -1, 1})
28	26, 27	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → (1 · 𝑦) ∈ { -1, 1})
29		oveq1 6095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 𝑦))
30	29	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1} ↔ (1 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
31	28, 30	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑦 ∈ { -1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
32	25, 31	jaoi 728	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑦 ∈ { -1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
33	8, 32	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ { -1, 1} → (𝑦 ∈ { -1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
34	33	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑦 ∈ { -1, 1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1})
35		oveq2 6096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
36		1ap0 8926	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 # 0
37		divneg2ap 9074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
38	5, 5, 36, 37	mp3an 1378	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
39		1div1e1 9042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
40	39	negeqi 8527	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
41	38, 40	eqtr3i 2261	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
42	41, 3	eqeltri 2311	. . . . . . 7 ⊢ (1 / -1) ∈ { -1, 1}
43	35, 42	eqeltrdi 2329	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ { -1, 1})
44		oveq2 6096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
45	39, 15	eqeltri 2311	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) ∈ { -1, 1}
46	44, 45	eqeltrdi 2329	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ { -1, 1})
47	43, 46	jaoi 728	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (1 / 𝑥) ∈ { -1, 1})
48	8, 47	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ { -1, 1} → (1 / 𝑥) ∈ { -1, 1})
49	48	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ { -1, 1})
50	7, 34, 15, 49	expcl2lemap 11009	. 2 ⊢ (( -1 ∈ { -1, 1} ∧ -1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1})
51	3, 4, 50	mp3an12 1368	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  {cpr 3710   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  0cc0 8185  1c1 8186   · cmul 8190   -cneg 8505   # cap 8917   / cdiv 9010  ℤcz 9655  ↑cexp 10996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-seqfrec 10906  df-exp 10997

This theorem is used by:  m1expcl  11020  m1expeven  11044  gausslemma2dlem0i  16381  lgseisenlem2  16395