ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 GIF version

Theorem m1expcl2 10528
Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 9013 . . 3 -1 ∈ ℂ
2 prid1g 3695 . . 3 (-1 ∈ ℂ → -1 ∈ {-1, 1})
31, 2ax-mp 5 . 2 -1 ∈ {-1, 1}
4 neg1ap0 9017 . 2 -1 # 0
5 ax-1cn 7895 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 prssi 3749 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
71, 5, 6mp2an 426 . . 3 {-1, 1} ⊆ ℂ
8 elpri 3614 . . . . 5 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1))
97sseli 3151 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ ℂ)
109mulm1d 8357 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
11 elpri 3614 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1))
12 negeq 8140 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = -1 → -𝑦 = --1)
13 negneg1e1 9018 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
14 1ex 7943 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
1514prid2 3698 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ {-1, 1}
1613, 15eqeltri 2250 . . . . . . . . . . 11 --1 ∈ {-1, 1}
1712, 16eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
18 negeq 8140 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → -𝑦 = -1)
1918, 3eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2017, 19jaoi 716 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1) → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2111, 20syl 14 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2210, 21eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
23 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑥 = -1 → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 𝑦))
2423eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑥 = -1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
2522, 24syl5ibr 156 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
269mulid2d 7966 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) = 𝑦)
27 id 19 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ {-1, 1})
2826, 27eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
29 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 𝑦))
3029eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3128, 30syl5ibr 156 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3225, 31jaoi 716 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
338, 32syl 14 . . . 4 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3433imp 124 . . 3 ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑦 ∈ {-1, 1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
35 oveq2 5877 . . . . . . 7 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
36 1ap0 8537 . . . . . . . . . 10 1 # 0
37 divneg2ap 8682 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
385, 5, 36, 37mp3an 1337 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
39 1div1e1 8650 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
4039negeqi 8141 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
4138, 40eqtr3i 2200 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
4241, 3eqeltri 2250 . . . . . . 7 (1 / -1) ∈ {-1, 1}
4335, 42eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
44 oveq2 5877 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
4539, 15eqeltri 2250 . . . . . . 7 (1 / 1) ∈ {-1, 1}
4644, 45eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
4743, 46jaoi 716 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
488, 47syl 14 . . . 4 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
4948adantr 276 . . 3 ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
507, 34, 15, 49expcl2lemap 10518 . 2 ((-1 ∈ {-1, 1} ∧ -1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
513, 4, 50mp3an12 1327 1 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129  {cpr 3592   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   · cmul 7807  -cneg 8119   # cap 8528   / cdiv 8618  cz 9242  cexp 10505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-exp 10506
This theorem is referenced by:  m1expcl  10529  m1expeven  10553
  Copyright terms: Public domain W3C validator