Theorem m1expcl2 10308

Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expcl2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 8818	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		prid1g 3622	. . 3 ⊢ (-1 ∈ ℂ → -1 ∈ {-1, 1})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ -1 ∈ {-1, 1}
4		neg1ap0 8822	. 2 ⊢ -1 # 0
5		ax-1cn 7706	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		prssi 3673	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
7	1, 5, 6	mp2an 422	. . 3 ⊢ {-1, 1} ⊆ ℂ
8		elpri 3545	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1))
9	7	sseli 3088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ ℂ)
10	9	mulm1d 8165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
11		elpri 3545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1))
12		negeq 7948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 = --1)
13		negneg1e1 8823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
14		1ex 7754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
15	14	prid2 3625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ {-1, 1}
16	13, 15	eqeltri 2210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 ∈ {-1, 1}
17	12, 16	eqeltrdi 2228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
18		negeq 7948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 = -1)
19	18, 3	eqeltrdi 2228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
20	17, 19	jaoi 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1) → -𝑦 ∈ {-1, 1})
21	11, 20	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → -𝑦 ∈ {-1, 1})
22	10, 21	eqeltrd 2214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
23		oveq1 5774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 𝑦))
24	23	eleq1d 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
25	22, 24	syl5ibr 155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
26	9	mulid2d 7777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) = 𝑦)
27		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ {-1, 1})
28	26, 27	eqeltrd 2214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
29		oveq1 5774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 𝑦))
30	29	eleq1d 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
31	28, 30	syl5ibr 155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
32	25, 31	jaoi 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
33	8, 32	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
34	33	imp 123	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑦 ∈ {-1, 1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
35		oveq2 5775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
36		1ap0 8345	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 # 0
37		divneg2ap 8489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
38	5, 5, 36, 37	mp3an 1315	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
39		1div1e1 8457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
40	39	negeqi 7949	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
41	38, 40	eqtr3i 2160	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
42	41, 3	eqeltri 2210	. . . . . . 7 ⊢ (1 / -1) ∈ {-1, 1}
43	35, 42	eqeltrdi 2228	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
44		oveq2 5775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
45	39, 15	eqeltri 2210	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) ∈ {-1, 1}
46	44, 45	eqeltrdi 2228	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
47	43, 46	jaoi 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
48	8, 47	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
49	48	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
50	7, 34, 15, 49	expcl2lemap 10298	. 2 ⊢ ((-1 ∈ {-1, 1} ∧ -1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
51	3, 4, 50	mp3an12 1305	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3066  {cpr 3523   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  0cc0 7613  1c1 7614   · cmul 7618  -cneg 7927   # cap 8336   / cdiv 8425  ℤcz 9047  ↑cexp 10285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-seqfrec 10212  df-exp 10286

This theorem is referenced by:  m1expcl  10309  m1expeven  10333