ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 GIF version

Theorem m1expcl2 10544
Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 9026 . . 3 -1 โˆˆ โ„‚
2 prid1g 3698 . . 3 (-1 โˆˆ โ„‚ โ†’ -1 โˆˆ {-1, 1})
31, 2ax-mp 5 . 2 -1 โˆˆ {-1, 1}
4 neg1ap0 9030 . 2 -1 # 0
5 ax-1cn 7906 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
6 prssi 3752 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ {-1, 1} โŠ† โ„‚)
71, 5, 6mp2an 426 . . 3 {-1, 1} โŠ† โ„‚
8 elpri 3617 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1))
97sseli 3153 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
109mulm1d 8369 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (-1 ยท ๐‘ฆ) = -๐‘ฆ)
11 elpri 3617 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฆ = -1 โˆจ ๐‘ฆ = 1))
12 negeq 8152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = -1 โ†’ -๐‘ฆ = --1)
13 negneg1e1 9031 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
14 1ex 7954 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ V
1514prid2 3701 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ {-1, 1}
1613, 15eqeltri 2250 . . . . . . . . . . 11 --1 โˆˆ {-1, 1}
1712, 16eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = -1 โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
18 negeq 8152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = 1 โ†’ -๐‘ฆ = -1)
1918, 3eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = 1 โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2017, 19jaoi 716 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ = -1 โˆจ ๐‘ฆ = 1) โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2111, 20syl 14 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2210, 21eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (-1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
23 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (-1 ยท ๐‘ฆ))
2423eleq1d 2246 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1} โ†” (-1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
2522, 24imbitrrid 156 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
269mulid2d 7978 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
27 id 19 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2826, 27eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
29 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท ๐‘ฆ))
3029eleq1d 2246 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1} โ†” (1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3128, 30imbitrrid 156 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3225, 31jaoi 716 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
338, 32syl 14 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3433imp 124 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
35 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / -1))
36 1ap0 8549 . . . . . . . . . 10 1 # 0
37 divneg2ap 8695 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 # 0) โ†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
385, 5, 36, 37mp3an 1337 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
39 1div1e1 8663 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
4039negeqi 8153 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
4138, 40eqtr3i 2200 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
4241, 3eqeltri 2250 . . . . . . 7 (1 / -1) โˆˆ {-1, 1}
4335, 42eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
44 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / 1))
4539, 15eqeltri 2250 . . . . . . 7 (1 / 1) โˆˆ {-1, 1}
4644, 45eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
4743, 46jaoi 716 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
488, 47syl 14 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
4948adantr 276 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โˆง ๐‘ฅ # 0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
507, 34, 15, 49expcl2lemap 10534 . 2 ((-1 โˆˆ {-1, 1} โˆง -1 # 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})
513, 4, 50mp3an12 1327 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โŠ† wss 3131  {cpr 3595   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  0cc0 7813  1c1 7814   ยท cmul 7818  -cneg 8131   # cap 8540   / cdiv 8631  โ„คcz 9255  โ†‘cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  m1expcl  10545  m1expeven  10569  lgseisenlem2  14490
  Copyright terms: Public domain W3C validator