Theorem mulgdirlem 13283

Description: Lemma for mulgdir 13284. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgdirlem	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgdirlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1002	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	grpmndd 13145	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		simpl23 1079	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		mulgnndir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgnndir.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8		mulgnndir.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mulgnn0dir 13282	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
10	2, 3, 4, 5, 9	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
11	10	anassrs 400	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
12		simpl1 1002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
13		simp22 1033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		simpl23 1079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
17	6, 7, 16	mulgneg 13270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
18	12, 14, 15, 17	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
19	18	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)))
20	6, 7	mulgcl 13269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
21	12, 14, 15, 20	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
23	6, 8, 22, 16	grplinv 13182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
24	12, 21, 23	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
25	19, 24	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
26	25	oveq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g‘𝐺)))
27		simpl3 1004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
28		nn0z 9346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
30	6, 7	mulgcl 13269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
31	12, 29, 15, 30	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
32	6, 8, 22	grprid 13164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g‘𝐺)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
33	12, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g‘𝐺)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
34	26, 33	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
35		nn0z 9346	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
36	35	ad2antll 491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℤ)
37	6, 7	mulgcl 13269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	12, 36, 15, 37	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
39	6, 8	grpass 13141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
40	12, 31, 38, 21, 39	syl13anc 1251	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
41	12	grpmndd 13145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
42		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
43	6, 7, 8	mulgnn0dir 13282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)))
44	41, 27, 42, 15, 43	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)))
45		simp21 1032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
46	45	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
47	13	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
48	46, 47	addcld 8046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
50	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	49, 50	negsubd 8343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
52	46	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
53	52, 50	pncand 8338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
54	51, 53	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) = 𝑀)
55	54	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
56	44, 55	eqtr3d 2231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
57	56	oveq1d 5937	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
58	40, 57	eqtr3d 2231	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
59	34, 58	eqtr3d 2231	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
60	59	anassrs 400	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
61		elznn0 9341	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
62	61	simprbi 275	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
63	13, 62	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
64	63	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
65	11, 60, 64	mpjaodan 799	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
66		simpl1 1002	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
67	45	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
68		simpl23 1079	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
69	6, 7	mulgcl 13269	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
71	67	znegcld 9450	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
72	6, 7	mulgcl 13269	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
73	66, 71, 68, 72	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
74	28	3ad2ant3 1022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
75	74	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
76	66, 75, 68, 30	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
77	6, 8	grpass 13141	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))))
78	66, 70, 73, 76, 77	syl13anc 1251	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))))
79	6, 7, 16	mulgneg 13270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
80	66, 67, 68, 79	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
81	80	oveq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
82	6, 8, 22, 16	grprinv 13183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))) = (0g‘𝐺))
83	66, 70, 82	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))) = (0g‘𝐺))
84	81, 83	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
85	84	oveq1d 5937	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
86	6, 8, 22	grplid 13163	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
87	66, 76, 86	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
88	85, 87	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
89	66	grpmndd 13145	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
90		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
91		simpl3 1004	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
92	6, 7, 8	mulgnn0dir 13282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
93	89, 90, 91, 68, 92	syl13anc 1251	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
94	46	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
95	94	negcld 8324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
96	48	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
97	95, 96	addcomd 8177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀))
98	96, 94	negsubd 8343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
99	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
100	94, 99	pncan2d 8339	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
101	97, 98, 100	3eqtrd 2233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) = 𝑁)
102	101	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
103	93, 102	eqtr3d 2231	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
104	103	oveq2d 5938	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
105	78, 88, 104	3eqtr3d 2237	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
106		elznn0 9341	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
107	106	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
108	45, 107	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
109	65, 105, 108	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878   + caddc 7882   − cmin 8197  -cneg 8198  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  0_gc0g 12927  Mndcmnd 13057  Grpcgrp 13132  inv_gcminusg 13133  ._gcmg 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-seqfrec 10540  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-mulg 13250

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