ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qnumgt0 GIF version

Theorem qnumgt0 12164
Description: A rational is positive iff its canonical numerator is. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qnumgt0 (𝐴 ∈ β„š β†’ (0 < 𝐴 ↔ 0 < (numerβ€˜π΄)))

Proof of Theorem qnumgt0
StepHypRef Expression
1 0red 7933 . . 3 (𝐴 ∈ β„š β†’ 0 ∈ ℝ)
2 qre 9596 . . 3 (𝐴 ∈ β„š β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 qdencl 12155 . . . 4 (𝐴 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π΄) ∈ β„•)
43nnred 8903 . . 3 (𝐴 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π΄) ∈ ℝ)
53nngt0d 8934 . . 3 (𝐴 ∈ β„š β†’ 0 < (denomβ€˜π΄))
6 ltmul1 8523 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((denomβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (denomβ€˜π΄))) β†’ (0 < 𝐴 ↔ (0 Β· (denomβ€˜π΄)) < (𝐴 Β· (denomβ€˜π΄))))
71, 2, 4, 5, 6syl112anc 1242 . 2 (𝐴 ∈ β„š β†’ (0 < 𝐴 ↔ (0 Β· (denomβ€˜π΄)) < (𝐴 Β· (denomβ€˜π΄))))
83nncnd 8904 . . . 4 (𝐴 ∈ β„š β†’ (denomβ€˜π΄) ∈ β„‚)
98mul02d 8323 . . 3 (𝐴 ∈ β„š β†’ (0 Β· (denomβ€˜π΄)) = 0)
10 qmuldeneqnum 12161 . . 3 (𝐴 ∈ β„š β†’ (𝐴 Β· (denomβ€˜π΄)) = (numerβ€˜π΄))
119, 10breq12d 4011 . 2 (𝐴 ∈ β„š β†’ ((0 Β· (denomβ€˜π΄)) < (𝐴 Β· (denomβ€˜π΄)) ↔ 0 < (numerβ€˜π΄)))
127, 11bitrd 188 1 (𝐴 ∈ β„š β†’ (0 < 𝐴 ↔ 0 < (numerβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2146   class class class wbr 3998  β€˜cfv 5208  (class class class)co 5865  β„cr 7785  0cc0 7786   Β· cmul 7791   < clt 7966  β„šcq 9590  numercnumer 12147  denomcdenom 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10818  df-re 10819  df-im 10820  df-rsqrt 10974  df-abs 10975  df-dvds 11762  df-gcd 11910  df-numer 12149  df-denom 12150
This theorem is referenced by:  qgt0numnn  12165
  Copyright terms: Public domain W3C validator