Theorem zlmval 14606

Description: Augment an abelian group with vector space operations to turn it into a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmval.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmval.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmval	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))

Proof of Theorem zlmval

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmval.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		df-zlm 14594	. . 3 ⊢ ℤMod = (𝑔 ∈ V ↦ ((𝑔 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝑔)⟩))
3		oveq1 6014	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) = (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
4		fveq2 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (.g‘𝑔) = (.g‘𝐺))
5		zlmval.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	eqtr4di 2280	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (.g‘𝑔) = · )
7	6	opeq2d 3864	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝑔)⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)
8	3, 7	oveq12d 6025	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑔 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝑔)⟩) = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
9		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
10		scaslid 13201	. . . . . 6 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
12		zringring 14572	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
13		setsex 13079	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
14	11, 12, 13	mp3an23 1363	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
15		vscaslid 13211	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
16	15	simpri 113	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
17	16	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
18		mulgex 13675	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)
19	5, 18	eqeltrid 2316	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → · ∈ V)
20		setsex 13079	. . . 4 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ V) → ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩) ∈ V)
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩) ∈ V)
22	2, 8, 9, 21	fvmptd3 5730	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (ℤMod‘𝐺) = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
23	1, 22	eqtrid 2274	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟨cop 3669  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℕcn 9121  ndxcnx 13044   sSet csts 13045  Slot cslot 13046  Scalarcsca 13128   ·_𝑠 cvsca 13129  ._gcmg 13671  Ringcrg 13974  ℤ_ringczring 14569  ℤModczlm 14591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-addf 8132  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-dec 9590  df-uz 9734  df-rp 9862  df-fz 10217  df-seqfrec 10682  df-cj 11368  df-abs 11525  df-struct 13049  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-starv 13140  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-tset 13144  df-ple 13145  df-ds 13147  df-unif 13148  df-0g 13306  df-topgen 13308  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-mulg 13672  df-subg 13722  df-cmn 13838  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-ring 13976  df-cring 13977  df-subrg 14198  df-bl 14525  df-mopn 14526  df-fg 14528  df-metu 14529  df-cnfld 14536  df-zring 14570  df-zlm 14594

This theorem is referenced by:  zlmlemg  14607  zlmsca  14611  zlmvscag  14612