Theorem zlmval 14307

Description: Augment an abelian group with vector space operations to turn it into a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmval.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmval.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmval	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))

Proof of Theorem zlmval

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmval.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		df-zlm 14295	. . 3 ⊢ ℤMod = (𝑔 ∈ V ↦ ((𝑔 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝑔)⟩))
3		oveq1 5941	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) = (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
4		fveq2 5570	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (.g‘𝑔) = (.g‘𝐺))
5		zlmval.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	eqtr4di 2255	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (.g‘𝑔) = · )
7	6	opeq2d 3825	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝑔)⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)
8	3, 7	oveq12d 5952	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑔 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝑔)⟩) = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
9		elex 2782	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
10		scaslid 12903	. . . . . 6 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
12		zringring 14273	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
13		setsex 12783	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
14	11, 12, 13	mp3an23 1341	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
15		vscaslid 12913	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
16	15	simpri 113	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
17	16	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
18		mulgex 13377	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)
19	5, 18	eqeltrid 2291	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → · ∈ V)
20		setsex 12783	. . . 4 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ V) → ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩) ∈ V)
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩) ∈ V)
22	2, 8, 9, 21	fvmptd3 5667	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (ℤMod‘𝐺) = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
23	1, 22	eqtrid 2249	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771  ⟨cop 3635  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  ℕcn 9018  ndxcnx 12748   sSet csts 12749  Slot cslot 12750  Scalarcsca 12831   ·_𝑠 cvsca 12832  ._gcmg 13373  Ringcrg 13676  ℤ_ringczring 14270  ℤModczlm 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-addf 8029  ax-mulf 8030

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-9 9084  df-n0 9278  df-z 9355  df-dec 9487  df-uz 9631  df-rp 9758  df-fz 10113  df-seqfrec 10574  df-cj 11072  df-abs 11229  df-struct 12753  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-iress 12759  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-starv 12843  df-sca 12844  df-vsca 12845  df-tset 12847  df-ple 12848  df-ds 12850  df-unif 12851  df-0g 13008  df-topgen 13010  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-mulg 13374  df-subg 13424  df-cmn 13540  df-mgp 13601  df-ur 13640  df-ring 13678  df-cring 13679  df-subrg 13899  df-bl 14226  df-mopn 14227  df-fg 14229  df-metu 14230  df-cnfld 14237  df-zring 14271  df-zlm 14295

This theorem is referenced by:  zlmlemg  14308  zlmsca  14312  zlmvscag  14313