Theorem zlmval 14585

Description: Augment an abelian group with vector space operations to turn it into a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmval.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmval.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmval	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))

Proof of Theorem zlmval

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmval.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		df-zlm 14573	. . 3 ⊢ ℤMod = (𝑔 ∈ V ↦ ((𝑔 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝑔)⟩))
3		oveq1 6007	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) = (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
4		fveq2 5626	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (.g‘𝑔) = (.g‘𝐺))
5		zlmval.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	eqtr4di 2280	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (.g‘𝑔) = · )
7	6	opeq2d 3863	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝑔)⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)
8	3, 7	oveq12d 6018	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑔 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝑔)⟩) = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
9		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
10		scaslid 13181	. . . . . 6 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
12		zringring 14551	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
13		setsex 13059	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
14	11, 12, 13	mp3an23 1363	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
15		vscaslid 13191	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
16	15	simpri 113	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
17	16	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
18		mulgex 13655	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)
19	5, 18	eqeltrid 2316	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → · ∈ V)
20		setsex 13059	. . . 4 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ V) → ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩) ∈ V)
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩) ∈ V)
22	2, 8, 9, 21	fvmptd3 5727	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (ℤMod‘𝐺) = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
23	1, 22	eqtrid 2274	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟨cop 3669  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℕcn 9106  ndxcnx 13024   sSet csts 13025  Slot cslot 13026  Scalarcsca 13108   ·_𝑠 cvsca 13109  ._gcmg 13651  Ringcrg 13954  ℤ_ringczring 14548  ℤModczlm 14570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-addf 8117  ax-mulf 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-dec 9575  df-uz 9719  df-rp 9846  df-fz 10201  df-seqfrec 10665  df-cj 11348  df-abs 11505  df-struct 13029  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-iress 13035  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-starv 13120  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-tset 13124  df-ple 13125  df-ds 13127  df-unif 13128  df-0g 13286  df-topgen 13288  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-mulg 13652  df-subg 13702  df-cmn 13818  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-cring 13957  df-subrg 14177  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-fg 14507  df-metu 14508  df-cnfld 14515  df-zring 14549  df-zlm 14573

This theorem is referenced by:  zlmlemg  14586  zlmsca  14590  zlmvscag  14591