ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgfvalg GIF version

Theorem mulgfvalg 12985
Description: Group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgval.p + = (+gโ€˜๐บ)
mulgval.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
mulgval.i ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
mulgval.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgfvalg (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ยท = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘›   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘›   ๐‘ฅ, + ,๐‘›   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘›   ๐‘ฅ,๐ผ,๐‘›
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘›)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem mulgfvalg
Dummy variables ๐‘ค ๐‘  are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgval.t . 2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2 df-mulg 12984 . . 3 .g = (๐‘ค โˆˆ V โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โ†ฆ if(๐‘› = 0, (0gโ€˜๐‘ค), โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))))))
3 eqidd 2178 . . . 4 (๐‘ค = ๐บ โ†’ โ„ค = โ„ค)
4 fveq2 5516 . . . . 5 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘ค) = (Baseโ€˜๐บ))
5 mulgval.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
64, 5eqtr4di 2228 . . . 4 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘ค) = ๐ต)
7 fveq2 5516 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐บ))
8 mulgval.o . . . . . 6 0 = (0gโ€˜๐บ)
97, 8eqtr4di 2228 . . . . 5 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘ค) = 0 )
10 seqex 10447 . . . . . . 7 seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โˆˆ V
1110a1i 9 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐บ โ†’ seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โˆˆ V)
12 id 19 . . . . . . . . 9 (๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})))
13 fveq2 5516 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (+gโ€˜๐‘ค) = (+gโ€˜๐บ))
14 mulgval.p . . . . . . . . . . 11 + = (+gโ€˜๐บ)
1513, 14eqtr4di 2228 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (+gโ€˜๐‘ค) = + )
1615seqeq2d 10452 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐บ โ†’ seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})))
1712, 16sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ ๐‘  = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})))
1817fveq1d 5518 . . . . . . 7 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (๐‘ โ€˜๐‘›) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›))
19 simpl 109 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ ๐‘ค = ๐บ)
2019fveq2d 5520 . . . . . . . . 9 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (invgโ€˜๐‘ค) = (invgโ€˜๐บ))
21 mulgval.i . . . . . . . . 9 ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
2220, 21eqtr4di 2228 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (invgโ€˜๐‘ค) = ๐ผ)
2317fveq1d 5518 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ (๐‘ โ€˜-๐‘›) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))
2422, 23fveq12d 5523 . . . . . . 7 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›)) = (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))
2518, 24ifeq12d 3554 . . . . . 6 ((๐‘ค = ๐บ โˆง ๐‘  = seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ}))) โ†’ if(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))) = if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))
2611, 25csbied 3104 . . . . 5 (๐‘ค = ๐บ โ†’ โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))) = if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))
279, 26ifeq12d 3554 . . . 4 (๐‘ค = ๐บ โ†’ if(๐‘› = 0, (0gโ€˜๐‘ค), โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›)))) = if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
283, 6, 27mpoeq123dv 5937 . . 3 (๐‘ค = ๐บ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โ†ฆ if(๐‘› = 0, (0gโ€˜๐‘ค), โฆ‹seq1((+gโ€˜๐‘ค), (โ„• ร— {๐‘ฅ})) / ๐‘ โฆŒif(0 < ๐‘›, (๐‘ โ€˜๐‘›), ((invgโ€˜๐‘ค)โ€˜(๐‘ โ€˜-๐‘›))))) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))))
29 elex 2749 . . 3 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐บ โˆˆ V)
30 zex 9262 . . . 4 โ„ค โˆˆ V
31 basfn 12520 . . . . . 6 Base Fn V
32 funfvex 5533 . . . . . . 7 ((Fun Base โˆง ๐บ โˆˆ dom Base) โ†’ (Baseโ€˜๐บ) โˆˆ V)
3332funfni 5317 . . . . . 6 ((Base Fn V โˆง ๐บ โˆˆ V) โ†’ (Baseโ€˜๐บ) โˆˆ V)
3431, 29, 33sylancr 414 . . . . 5 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (Baseโ€˜๐บ) โˆˆ V)
355, 34eqeltrid 2264 . . . 4 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ต โˆˆ V)
36 mpoexga 6213 . . . 4 ((โ„ค โˆˆ V โˆง ๐ต โˆˆ V) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) โˆˆ V)
3730, 35, 36sylancr 414 . . 3 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))) โˆˆ V)
382, 28, 29, 37fvmptd3 5610 . 2 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (.gโ€˜๐บ) = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))))
391, 38eqtrid 2222 1 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ยท = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2738  โฆ‹csb 3058  ifcif 3535  {csn 3593   class class class wbr 4004   ร— cxp 4625   Fn wfn 5212  โ€˜cfv 5217   โˆˆ cmpo 5877  0cc0 7811  1c1 7812   < clt 7992  -cneg 8129  โ„•cn 8919  โ„คcz 9253  seqcseq 10445  Basecbs 12462  +gcplusg 12536  0gc0g 12705  invgcminusg 12878  .gcmg 12983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-neg 8131  df-inn 8920  df-z 9254  df-seqfrec 10446  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-mulg 12984
This theorem is referenced by:  mulgval  12986  mulgfng  12987  mulgpropdg  13025
  Copyright terms: Public domain W3C validator