Theorem elnnuz 9959

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9958	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2305	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  1c1 8180  ℕcn 9304  ℤ_≥cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  eluzge3nn  9972  uznnssnn  9977  elnndc  10012  uzsubsubfz1  10453  elfz1end  10461  fznn  10496  fzo1fzo0n0  10595  elfzonlteqm1  10628  rebtwn2z  10689  nnsinds  10882  exp3vallem  10977  exp1  10982  expp1  10983  facp1  11168  faclbnd  11179  bcn1  11196  resqrexlemf1  11774  resqrexlemfp1  11775  summodclem3  12147  summodclem2a  12148  fsum3  12154  fsumcl2lem  12165  fsumadd  12173  sumsnf  12176  fsummulc2  12215  trireciplem  12267  geo2lim  12283  geoisum1  12286  geoisum1c  12287  cvgratnnlemnexp  12291  cvgratz  12299  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  fprodseq  12350  fprodmul  12358  prodsnf  12359  fprodfac  12382  dvdsfac  12627  gcdsupex  12734  gcdsupcl  12735  prmind2  12898  eulerthlemrprm  13007  eulerthlema  13008  pcmpt  13122  prmunb  13141  ballotfilemfp1  13231  ballotfilemfc0  13232  ballotfilemfcc  13233  ballotfilem4  13241  ballotfilemic  13250  ballotfilem1c  13251  nninfdclemp1  13341  structfn  13371  mulgnngzsum  13930  mulg1  13932  mulgnndir  13954  gsumvalfi  14152  logfac  15995  lgsval2lem  16129  lgsdir  16154  lgsdilem2  16155  lgsdi  16156  lgsne0  16157  2lgslem1a  16207  2sqlem10  16244  clwwlkccatlem  16641  cvgcmp2nlemabs  17081  trilpolemisumle  17087  nconstwlpolem0  17113