Theorem elnnuz 9974

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9973	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2305	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  1c1 8186  ℕcn 9313  ℤ_≥cuz 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9654  df-uz 9937

This theorem is used by:  eluzge3nn  9987  uznnssnn  9992  elnndc  10027  uzsubsubfz1  10469  elfz1end  10477  fznn  10512  fzo1fzo0n0  10611  elfzonlteqm1  10644  rebtwn2z  10705  nnsinds  10902  exp3vallem  10997  exp1  11002  expp1  11003  facp1  11189  faclbnd  11200  bcn1  11217  resqrexlemf1  11795  resqrexlemfp1  11796  summodclem3  12171  summodclem2a  12172  fsum3  12178  fsumcl2lem  12189  fsumadd  12197  sumsnf  12200  fsummulc2  12239  trireciplem  12291  geo2lim  12307  geoisum1  12310  geoisum1c  12311  cvgratnnlemnexp  12315  cvgratz  12323  prodmodclem3  12366  prodmodclem2a  12367  fprodseq  12374  fprodmul  12382  prodsnf  12383  fprodfac  12406  dvdsfac  12651  gcdsupex  12758  gcdsupcl  12759  prmind2  12922  eulerthlemrprm  13035  eulerthlema  13036  pcmpt  13150  prmunb  13169  ballotfilemfp1  13288  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilem4  13298  ballotfilemic  13307  ballotfilem1c  13308  nninfdclemp1  13398  structfn  13428  mulgnngzsum  13988  mulg1  13990  mulgnndir  14012  gsumvalfi  14241  logfac  16143  prmorcht  16299  bpos1  16327  bposlem5  16332  lgsval2lem  16351  lgsdir  16376  lgsdilem2  16377  lgsdi  16378  lgsne0  16379  2lgslem1a  16429  2sqlem10  16466  clwwlkccatlem  16863  cvgcmp2nlemabs  17304  trilpolemisumle  17311  nconstwlpolem0  17337