Theorem elnnuz 9705

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9704	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2273	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  1c1 7946  ℕcn 9056  ℤ_≥cuz 9668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-z 9393  df-uz 9669

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9713  uznnssnn  9718  elnndc  9753  uzsubsubfz1  10190  elfz1end  10197  fznn  10231  fzo1fzo0n0  10329  elfzonlteqm1  10361  rebtwn2z  10419  nnsinds  10612  exp3vallem  10707  exp1  10712  expp1  10713  facp1  10897  faclbnd  10908  bcn1  10925  resqrexlemf1  11394  resqrexlemfp1  11395  summodclem3  11766  summodclem2a  11767  fsum3  11773  fsumcl2lem  11784  fsumadd  11792  sumsnf  11795  fsummulc2  11834  trireciplem  11886  geo2lim  11902  geoisum1  11905  geoisum1c  11906  cvgratnnlemnexp  11910  cvgratz  11918  prodmodclem3  11961  prodmodclem2a  11962  fprodseq  11969  fprodmul  11977  prodsnf  11978  fprodfac  12001  dvdsfac  12246  gcdsupex  12353  gcdsupcl  12354  prmind2  12517  eulerthlemrprm  12626  eulerthlema  12627  pcmpt  12741  prmunb  12760  nninfdclemp1  12896  structfn  12926  mulgnngsum  13538  mulg1  13540  mulgnndir  13562  lgsval2lem  15562  lgsdir  15587  lgsdilem2  15588  lgsdi  15589  lgsne0  15590  2lgslem1a  15640  2sqlem10  15677  cvgcmp2nlemabs  16112  trilpolemisumle  16118  nconstwlpolem0  16143