Theorem elnnuz 9793

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9792	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2298	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  1c1 8033  ℕcn 9143  ℤ_≥cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9806  uznnssnn  9811  elnndc  9846  uzsubsubfz1  10283  elfz1end  10290  fznn  10324  fzo1fzo0n0  10423  elfzonlteqm1  10456  rebtwn2z  10515  nnsinds  10708  exp3vallem  10803  exp1  10808  expp1  10809  facp1  10993  faclbnd  11004  bcn1  11021  resqrexlemf1  11586  resqrexlemfp1  11587  summodclem3  11959  summodclem2a  11960  fsum3  11966  fsumcl2lem  11977  fsumadd  11985  sumsnf  11988  fsummulc2  12027  trireciplem  12079  geo2lim  12095  geoisum1  12098  geoisum1c  12099  cvgratnnlemnexp  12103  cvgratz  12111  prodmodclem3  12154  prodmodclem2a  12155  fprodseq  12162  fprodmul  12170  prodsnf  12171  fprodfac  12194  dvdsfac  12439  gcdsupex  12546  gcdsupcl  12547  prmind2  12710  eulerthlemrprm  12819  eulerthlema  12820  pcmpt  12934  prmunb  12953  nninfdclemp1  13089  structfn  13119  mulgnngsum  13732  mulg1  13734  mulgnndir  13756  lgsval2lem  15758  lgsdir  15783  lgsdilem2  15784  lgsdi  15785  lgsne0  15786  2lgslem1a  15836  2sqlem10  15873  clwwlkccatlem  16270  cvgcmp2nlemabs  16687  trilpolemisumle  16693  nconstwlpolem0  16719  gfsumval  16732