Theorem elnnuz 9771

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9770	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2296	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  1c1 8011  ℕcn 9121  ℤ_≥cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9779  uznnssnn  9784  elnndc  9819  uzsubsubfz1  10256  elfz1end  10263  fznn  10297  fzo1fzo0n0  10395  elfzonlteqm1  10428  rebtwn2z  10486  nnsinds  10679  exp3vallem  10774  exp1  10779  expp1  10780  facp1  10964  faclbnd  10975  bcn1  10992  resqrexlemf1  11534  resqrexlemfp1  11535  summodclem3  11906  summodclem2a  11907  fsum3  11913  fsumcl2lem  11924  fsumadd  11932  sumsnf  11935  fsummulc2  11974  trireciplem  12026  geo2lim  12042  geoisum1  12045  geoisum1c  12046  cvgratnnlemnexp  12050  cvgratz  12058  prodmodclem3  12101  prodmodclem2a  12102  fprodseq  12109  fprodmul  12117  prodsnf  12118  fprodfac  12141  dvdsfac  12386  gcdsupex  12493  gcdsupcl  12494  prmind2  12657  eulerthlemrprm  12766  eulerthlema  12767  pcmpt  12881  prmunb  12900  nninfdclemp1  13036  structfn  13066  mulgnngsum  13679  mulg1  13681  mulgnndir  13703  lgsval2lem  15704  lgsdir  15729  lgsdilem2  15730  lgsdi  15731  lgsne0  15732  2lgslem1a  15782  2sqlem10  15819  clwwlkccatlem  16137  cvgcmp2nlemabs  16460  trilpolemisumle  16466  nconstwlpolem0  16491