Theorem elnnuz 9558

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9557	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2244	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5213  1c1 7807  ℕcn 8913  ℤ_≥cuz 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-addcom 7906  ax-addass 7908  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-ltadd 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-inn 8914  df-z 9248  df-uz 9523

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9566  uznnssnn  9571  elnndc  9606  uzsubsubfz1  10041  elfz1end  10048  fznn  10082  fzo1fzo0n0  10176  elfzonlteqm1  10203  rebtwn2z  10248  nnsinds  10436  exp3vallem  10514  exp1  10519  expp1  10520  facp1  10701  faclbnd  10712  bcn1  10729  resqrexlemf1  11008  resqrexlemfp1  11009  summodclem3  11379  summodclem2a  11380  fsum3  11386  fsumcl2lem  11397  fsumadd  11405  sumsnf  11408  fsummulc2  11447  trireciplem  11499  geo2lim  11515  geoisum1  11518  geoisum1c  11519  cvgratnnlemnexp  11523  cvgratz  11531  prodmodclem3  11574  prodmodclem2a  11575  fprodseq  11582  fprodmul  11590  prodsnf  11591  fprodfac  11614  dvdsfac  11856  gcdsupex  11948  gcdsupcl  11949  prmind2  12110  eulerthlemrprm  12219  eulerthlema  12220  pcmpt  12331  prmunb  12350  nninfdclemp1  12441  structfn  12471  mulg1  12918  mulgnndir  12939  lgsval2lem  14193  lgsdir  14218  lgsdilem2  14219  lgsdi  14220  lgsne0  14221  2sqlem10  14243  cvgcmp2nlemabs  14551  trilpolemisumle  14557  nconstwlpolem0  14581