Theorem elnnuz 9975

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9974	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2305	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  1c1 8186  ℕcn 9313  ℤ_≥cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  eluzge3nn  9988  uznnssnn  9993  elnndc  10028  uzsubsubfz1  10470  elfz1end  10478  fznn  10513  fzo1fzo0n0  10612  elfzonlteqm1  10645  rebtwn2z  10706  nnsinds  10903  exp3vallem  10998  exp1  11003  expp1  11004  facp1  11190  faclbnd  11201  bcn1  11218  resqrexlemf1  11796  resqrexlemfp1  11797  summodclem3  12172  summodclem2a  12173  fsum3  12179  fsumcl2lem  12190  fsumadd  12198  sumsnf  12201  fsummulc2  12240  trireciplem  12292  geo2lim  12308  geoisum1  12311  geoisum1c  12312  cvgratnnlemnexp  12316  cvgratz  12324  prodmodclem3  12367  prodmodclem2a  12368  fprodseq  12375  fprodmul  12383  prodsnf  12384  fprodfac  12407  dvdsfac  12652  gcdsupex  12759  gcdsupcl  12760  prmind2  12923  eulerthlemrprm  13036  eulerthlema  13037  pcmpt  13151  prmunb  13170  ballotfilemfp1  13289  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilem4  13299  ballotfilemic  13308  ballotfilem1c  13309  nninfdclemp1  13399  structfn  13429  mulgnngzsum  13989  mulg1  13991  mulgnndir  14013  gsumvalfi  14242  logfac  16126  prmorcht  16282  bpos1  16310  bposlem5  16315  lgsval2lem  16334  lgsdir  16359  lgsdilem2  16360  lgsdi  16361  lgsne0  16362  2lgslem1a  16412  2sqlem10  16449  clwwlkccatlem  16846  cvgcmp2nlemabs  17287  trilpolemisumle  17294  nconstwlpolem0  17320