Theorem elnnuz 9684

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9683	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2271	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5270  1c1 7925  ℕcn 9035  ℤ_≥cuz 9647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-z 9372  df-uz 9648

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9692  uznnssnn  9697  elnndc  9732  uzsubsubfz1  10169  elfz1end  10176  fznn  10210  fzo1fzo0n0  10305  elfzonlteqm1  10337  rebtwn2z  10395  nnsinds  10588  exp3vallem  10683  exp1  10688  expp1  10689  facp1  10873  faclbnd  10884  bcn1  10901  resqrexlemf1  11261  resqrexlemfp1  11262  summodclem3  11633  summodclem2a  11634  fsum3  11640  fsumcl2lem  11651  fsumadd  11659  sumsnf  11662  fsummulc2  11701  trireciplem  11753  geo2lim  11769  geoisum1  11772  geoisum1c  11773  cvgratnnlemnexp  11777  cvgratz  11785  prodmodclem3  11828  prodmodclem2a  11829  fprodseq  11836  fprodmul  11844  prodsnf  11845  fprodfac  11868  dvdsfac  12113  gcdsupex  12220  gcdsupcl  12221  prmind2  12384  eulerthlemrprm  12493  eulerthlema  12494  pcmpt  12608  prmunb  12627  nninfdclemp1  12763  structfn  12793  mulgnngsum  13405  mulg1  13407  mulgnndir  13429  lgsval2lem  15429  lgsdir  15454  lgsdilem2  15455  lgsdi  15456  lgsne0  15457  2lgslem1a  15507  2sqlem10  15544  cvgcmp2nlemabs  15904  trilpolemisumle  15910  nconstwlpolem0  15935