Theorem elnnuz 9776

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9775	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2296	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5321  1c1 8016  ℕcn 9126  ℤ_≥cuz 9738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-z 9463  df-uz 9739

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9784  uznnssnn  9789  elnndc  9824  uzsubsubfz1  10261  elfz1end  10268  fznn  10302  fzo1fzo0n0  10400  elfzonlteqm1  10433  rebtwn2z  10491  nnsinds  10684  exp3vallem  10779  exp1  10784  expp1  10785  facp1  10969  faclbnd  10980  bcn1  10997  resqrexlemf1  11540  resqrexlemfp1  11541  summodclem3  11912  summodclem2a  11913  fsum3  11919  fsumcl2lem  11930  fsumadd  11938  sumsnf  11941  fsummulc2  11980  trireciplem  12032  geo2lim  12048  geoisum1  12051  geoisum1c  12052  cvgratnnlemnexp  12056  cvgratz  12064  prodmodclem3  12107  prodmodclem2a  12108  fprodseq  12115  fprodmul  12123  prodsnf  12124  fprodfac  12147  dvdsfac  12392  gcdsupex  12499  gcdsupcl  12500  prmind2  12663  eulerthlemrprm  12772  eulerthlema  12773  pcmpt  12887  prmunb  12906  nninfdclemp1  13042  structfn  13072  mulgnngsum  13685  mulg1  13687  mulgnndir  13709  lgsval2lem  15710  lgsdir  15735  lgsdilem2  15736  lgsdi  15737  lgsne0  15738  2lgslem1a  15788  2sqlem10  15825  clwwlkccatlem  16169  cvgcmp2nlemabs  16514  trilpolemisumle  16520  nconstwlpolem0  16545