Theorem elnnuz 9632

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9631	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  1c1 7875  ℕcn 8984  ℤ_≥cuz 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-z 9321  df-uz 9596

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9640  uznnssnn  9645  elnndc  9680  uzsubsubfz1  10117  elfz1end  10124  fznn  10158  fzo1fzo0n0  10253  elfzonlteqm1  10280  rebtwn2z  10326  nnsinds  10519  exp3vallem  10614  exp1  10619  expp1  10620  facp1  10804  faclbnd  10815  bcn1  10832  resqrexlemf1  11155  resqrexlemfp1  11156  summodclem3  11526  summodclem2a  11527  fsum3  11533  fsumcl2lem  11544  fsumadd  11552  sumsnf  11555  fsummulc2  11594  trireciplem  11646  geo2lim  11662  geoisum1  11665  geoisum1c  11666  cvgratnnlemnexp  11670  cvgratz  11678  prodmodclem3  11721  prodmodclem2a  11722  fprodseq  11729  fprodmul  11737  prodsnf  11738  fprodfac  11761  dvdsfac  12005  gcdsupex  12097  gcdsupcl  12098  prmind2  12261  eulerthlemrprm  12370  eulerthlema  12371  pcmpt  12484  prmunb  12503  nninfdclemp1  12610  structfn  12640  mulgnngsum  13200  mulg1  13202  mulgnndir  13224  lgsval2lem  15167  lgsdir  15192  lgsdilem2  15193  lgsdi  15194  lgsne0  15195  2lgslem1a  15245  2sqlem10  15282  cvgcmp2nlemabs  15592  trilpolemisumle  15598  nconstwlpolem0  15623