Theorem elnnuz 9969

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9968	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2305	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  1c1 8181  ℕcn 9307  ℤ_≥cuz 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-z 9650  df-uz 9932

This theorem is used by:  eluzge3nn  9982  uznnssnn  9987  elnndc  10022  uzsubsubfz1  10464  elfz1end  10472  fznn  10507  fzo1fzo0n0  10606  elfzonlteqm1  10639  rebtwn2z  10700  nnsinds  10897  exp3vallem  10992  exp1  10997  expp1  10998  facp1  11184  faclbnd  11195  bcn1  11212  resqrexlemf1  11790  resqrexlemfp1  11791  summodclem3  12166  summodclem2a  12167  fsum3  12173  fsumcl2lem  12184  fsumadd  12192  sumsnf  12195  fsummulc2  12234  trireciplem  12286  geo2lim  12302  geoisum1  12305  geoisum1c  12306  cvgratnnlemnexp  12310  cvgratz  12318  prodmodclem3  12361  prodmodclem2a  12362  fprodseq  12369  fprodmul  12377  prodsnf  12378  fprodfac  12401  dvdsfac  12646  gcdsupex  12753  gcdsupcl  12754  prmind2  12917  eulerthlemrprm  13030  eulerthlema  13031  pcmpt  13145  prmunb  13164  ballotfilemfp1  13283  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285  ballotfilem4  13293  ballotfilemic  13302  ballotfilem1c  13303  nninfdclemp1  13393  structfn  13423  mulgnngzsum  13983  mulg1  13985  mulgnndir  14007  gsumvalfi  14236  logfac  16090  prmorcht  16243  bpos1  16271  bposlem5  16276  lgsval2lem  16295  lgsdir  16320  lgsdilem2  16321  lgsdi  16322  lgsne0  16323  2lgslem1a  16373  2sqlem10  16410  clwwlkccatlem  16807  cvgcmp2nlemabs  17247  trilpolemisumle  17254  nconstwlpolem0  17280