Theorem elnnuz 9498

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9497	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2232	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136  ‘cfv 5187  1c1 7750  ℕcn 8853  ℤ_≥cuz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-z 9188  df-uz 9463

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9506  uznnssnn  9511  elnndc  9546  uzsubsubfz1  9979  elfz1end  9986  fznn  10020  fzo1fzo0n0  10114  elfzonlteqm1  10141  rebtwn2z  10186  nnsinds  10374  exp3vallem  10452  exp1  10457  expp1  10458  facp1  10639  faclbnd  10650  bcn1  10667  resqrexlemf1  10946  resqrexlemfp1  10947  summodclem3  11317  summodclem2a  11318  fsum3  11324  fsumcl2lem  11335  fsumadd  11343  sumsnf  11346  fsummulc2  11385  trireciplem  11437  geo2lim  11453  geoisum1  11456  geoisum1c  11457  cvgratnnlemnexp  11461  cvgratz  11469  prodmodclem3  11512  prodmodclem2a  11513  fprodseq  11520  fprodmul  11528  prodsnf  11529  fprodfac  11552  dvdsfac  11794  gcdsupex  11886  gcdsupcl  11887  prmind2  12048  eulerthlemrprm  12157  eulerthlema  12158  pcmpt  12269  prmunb  12288  nninfdclemp1  12379  structfn  12409  lgsval2lem  13511  lgsdir  13536  lgsdilem2  13537  lgsdi  13538  lgsne0  13539  2sqlem10  13561  cvgcmp2nlemabs  13871  trilpolemisumle  13877  nconstwlpolem0  13901