Theorem elnnuz 9837

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9836	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2298	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  1c1 8076  ℕcn 9185  ℤ_≥cuz 9799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-z 9524  df-uz 9800

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9850  uznnssnn  9855  elnndc  9890  uzsubsubfz1  10328  elfz1end  10335  fznn  10369  fzo1fzo0n0  10468  elfzonlteqm1  10501  rebtwn2z  10560  nnsinds  10753  exp3vallem  10848  exp1  10853  expp1  10854  facp1  11038  faclbnd  11049  bcn1  11066  resqrexlemf1  11631  resqrexlemfp1  11632  summodclem3  12004  summodclem2a  12005  fsum3  12011  fsumcl2lem  12022  fsumadd  12030  sumsnf  12033  fsummulc2  12072  trireciplem  12124  geo2lim  12140  geoisum1  12143  geoisum1c  12144  cvgratnnlemnexp  12148  cvgratz  12156  prodmodclem3  12199  prodmodclem2a  12200  fprodseq  12207  fprodmul  12215  prodsnf  12216  fprodfac  12239  dvdsfac  12484  gcdsupex  12591  gcdsupcl  12592  prmind2  12755  eulerthlemrprm  12864  eulerthlema  12865  pcmpt  12979  prmunb  12998  nninfdclemp1  13134  structfn  13164  mulgnngsum  13777  mulg1  13779  mulgnndir  13801  lgsval2lem  15812  lgsdir  15837  lgsdilem2  15838  lgsdi  15839  lgsne0  15840  2lgslem1a  15890  2sqlem10  15927  clwwlkccatlem  16324  cvgcmp2nlemabs  16747  trilpolemisumle  16753  nconstwlpolem0  16779  gfsumval  16792