Theorem elnnuz 9566

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9565	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2244	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  1c1 7814  ℕcn 8921  ℤ_≥cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9574  uznnssnn  9579  elnndc  9614  uzsubsubfz1  10050  elfz1end  10057  fznn  10091  fzo1fzo0n0  10185  elfzonlteqm1  10212  rebtwn2z  10257  nnsinds  10445  exp3vallem  10523  exp1  10528  expp1  10529  facp1  10712  faclbnd  10723  bcn1  10740  resqrexlemf1  11019  resqrexlemfp1  11020  summodclem3  11390  summodclem2a  11391  fsum3  11397  fsumcl2lem  11408  fsumadd  11416  sumsnf  11419  fsummulc2  11458  trireciplem  11510  geo2lim  11526  geoisum1  11529  geoisum1c  11530  cvgratnnlemnexp  11534  cvgratz  11542  prodmodclem3  11585  prodmodclem2a  11586  fprodseq  11593  fprodmul  11601  prodsnf  11602  fprodfac  11625  dvdsfac  11868  gcdsupex  11960  gcdsupcl  11961  prmind2  12122  eulerthlemrprm  12231  eulerthlema  12232  pcmpt  12343  prmunb  12362  nninfdclemp1  12453  structfn  12483  mulg1  12995  mulgnndir  13017  lgsval2lem  14496  lgsdir  14521  lgsdilem2  14522  lgsdi  14523  lgsne0  14524  2sqlem10  14557  cvgcmp2nlemabs  14865  trilpolemisumle  14871  nconstwlpolem0  14896