Theorem elnnuz 9755

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9754	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2296	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  1c1 7996  ℕcn 9106  ℤ_≥cuz 9718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-z 9443  df-uz 9719

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9763  uznnssnn  9768  elnndc  9803  uzsubsubfz1  10240  elfz1end  10247  fznn  10281  fzo1fzo0n0  10379  elfzonlteqm1  10411  rebtwn2z  10469  nnsinds  10662  exp3vallem  10757  exp1  10762  expp1  10763  facp1  10947  faclbnd  10958  bcn1  10975  resqrexlemf1  11514  resqrexlemfp1  11515  summodclem3  11886  summodclem2a  11887  fsum3  11893  fsumcl2lem  11904  fsumadd  11912  sumsnf  11915  fsummulc2  11954  trireciplem  12006  geo2lim  12022  geoisum1  12025  geoisum1c  12026  cvgratnnlemnexp  12030  cvgratz  12038  prodmodclem3  12081  prodmodclem2a  12082  fprodseq  12089  fprodmul  12097  prodsnf  12098  fprodfac  12121  dvdsfac  12366  gcdsupex  12473  gcdsupcl  12474  prmind2  12637  eulerthlemrprm  12746  eulerthlema  12747  pcmpt  12861  prmunb  12880  nninfdclemp1  13016  structfn  13046  mulgnngsum  13659  mulg1  13661  mulgnndir  13683  lgsval2lem  15683  lgsdir  15708  lgsdilem2  15709  lgsdi  15710  lgsne0  15711  2lgslem1a  15761  2sqlem10  15798  cvgcmp2nlemabs  16359  trilpolemisumle  16365  nconstwlpolem0  16390