Theorem elnnuz 9564

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9563	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2244	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5217  1c1 7812  ℕcn 8919  ℤ_≥cuz 9528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-z 9254  df-uz 9529

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9572  uznnssnn  9577  elnndc  9612  uzsubsubfz1  10048  elfz1end  10055  fznn  10089  fzo1fzo0n0  10183  elfzonlteqm1  10210  rebtwn2z  10255  nnsinds  10443  exp3vallem  10521  exp1  10526  expp1  10527  facp1  10710  faclbnd  10721  bcn1  10738  resqrexlemf1  11017  resqrexlemfp1  11018  summodclem3  11388  summodclem2a  11389  fsum3  11395  fsumcl2lem  11406  fsumadd  11414  sumsnf  11417  fsummulc2  11456  trireciplem  11508  geo2lim  11524  geoisum1  11527  geoisum1c  11528  cvgratnnlemnexp  11532  cvgratz  11540  prodmodclem3  11583  prodmodclem2a  11584  fprodseq  11591  fprodmul  11599  prodsnf  11600  fprodfac  11623  dvdsfac  11866  gcdsupex  11958  gcdsupcl  11959  prmind2  12120  eulerthlemrprm  12229  eulerthlema  12230  pcmpt  12341  prmunb  12360  nninfdclemp1  12451  structfn  12481  mulg1  12990  mulgnndir  13012  lgsval2lem  14414  lgsdir  14439  lgsdilem2  14440  lgsdi  14441  lgsne0  14442  2sqlem10  14475  cvgcmp2nlemabs  14783  trilpolemisumle  14789  nconstwlpolem0  14813