Theorem elnnuz 9657

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9656	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2263	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  1c1 7899  ℕcn 9009  ℤ_≥cuz 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-z 9346  df-uz 9621

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9665  uznnssnn  9670  elnndc  9705  uzsubsubfz1  10142  elfz1end  10149  fznn  10183  fzo1fzo0n0  10278  elfzonlteqm1  10305  rebtwn2z  10363  nnsinds  10556  exp3vallem  10651  exp1  10656  expp1  10657  facp1  10841  faclbnd  10852  bcn1  10869  resqrexlemf1  11192  resqrexlemfp1  11193  summodclem3  11564  summodclem2a  11565  fsum3  11571  fsumcl2lem  11582  fsumadd  11590  sumsnf  11593  fsummulc2  11632  trireciplem  11684  geo2lim  11700  geoisum1  11703  geoisum1c  11704  cvgratnnlemnexp  11708  cvgratz  11716  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  fprodseq  11767  fprodmul  11775  prodsnf  11776  fprodfac  11799  dvdsfac  12044  gcdsupex  12151  gcdsupcl  12152  prmind2  12315  eulerthlemrprm  12424  eulerthlema  12425  pcmpt  12539  prmunb  12558  nninfdclemp1  12694  structfn  12724  mulgnngsum  13335  mulg1  13337  mulgnndir  13359  lgsval2lem  15359  lgsdir  15384  lgsdilem2  15385  lgsdi  15386  lgsne0  15387  2lgslem1a  15437  2sqlem10  15474  cvgcmp2nlemabs  15789  trilpolemisumle  15795  nconstwlpolem0  15820