Theorem elnnuz 9968

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9967	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2305	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  1c1 8180  ℕcn 9306  ℤ_≥cuz 9930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-z 9649  df-uz 9931

This theorem is used by:  eluzge3nn  9981  uznnssnn  9986  elnndc  10021  uzsubsubfz1  10463  elfz1end  10471  fznn  10506  fzo1fzo0n0  10605  elfzonlteqm1  10638  rebtwn2z  10699  nnsinds  10895  exp3vallem  10990  exp1  10995  expp1  10996  facp1  11182  faclbnd  11193  bcn1  11210  resqrexlemf1  11788  resqrexlemfp1  11789  summodclem3  12163  summodclem2a  12164  fsum3  12170  fsumcl2lem  12181  fsumadd  12189  sumsnf  12192  fsummulc2  12231  trireciplem  12283  geo2lim  12299  geoisum1  12302  geoisum1c  12303  cvgratnnlemnexp  12307  cvgratz  12315  prodmodclem3  12358  prodmodclem2a  12359  fprodseq  12366  fprodmul  12374  prodsnf  12375  fprodfac  12398  dvdsfac  12643  gcdsupex  12750  gcdsupcl  12751  prmind2  12914  eulerthlemrprm  13027  eulerthlema  13028  pcmpt  13142  prmunb  13161  ballotfilemfp1  13280  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilem4  13290  ballotfilemic  13299  ballotfilem1c  13300  nninfdclemp1  13390  structfn  13420  mulgnngzsum  13979  mulg1  13981  mulgnndir  14003  gsumvalfi  14201  logfac  16048  bpos1  16208  bposlem5  16213  lgsval2lem  16227  lgsdir  16252  lgsdilem2  16253  lgsdi  16254  lgsne0  16255  2lgslem1a  16305  2sqlem10  16342  clwwlkccatlem  16739  cvgcmp2nlemabs  17179  trilpolemisumle  17185  nconstwlpolem0  17211