Theorem elnnuz 9792

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9791	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2298	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  1c1 8032  ℕcn 9142  ℤ_≥cuz 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9805  uznnssnn  9810  elnndc  9845  uzsubsubfz1  10282  elfz1end  10289  fznn  10323  fzo1fzo0n0  10421  elfzonlteqm1  10454  rebtwn2z  10513  nnsinds  10706  exp3vallem  10801  exp1  10806  expp1  10807  facp1  10991  faclbnd  11002  bcn1  11019  resqrexlemf1  11568  resqrexlemfp1  11569  summodclem3  11940  summodclem2a  11941  fsum3  11947  fsumcl2lem  11958  fsumadd  11966  sumsnf  11969  fsummulc2  12008  trireciplem  12060  geo2lim  12076  geoisum1  12079  geoisum1c  12080  cvgratnnlemnexp  12084  cvgratz  12092  prodmodclem3  12135  prodmodclem2a  12136  fprodseq  12143  fprodmul  12151  prodsnf  12152  fprodfac  12175  dvdsfac  12420  gcdsupex  12527  gcdsupcl  12528  prmind2  12691  eulerthlemrprm  12800  eulerthlema  12801  pcmpt  12915  prmunb  12934  nninfdclemp1  13070  structfn  13100  mulgnngsum  13713  mulg1  13715  mulgnndir  13737  lgsval2lem  15738  lgsdir  15763  lgsdilem2  15764  lgsdi  15765  lgsne0  15766  2lgslem1a  15816  2sqlem10  15853  clwwlkccatlem  16250  cvgcmp2nlemabs  16636  trilpolemisumle  16642  nconstwlpolem0  16667  gfsumval  16680