Theorem elnnuz 9783

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9782	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2296	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  1c1 8023  ℕcn 9133  ℤ_≥cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9796  uznnssnn  9801  elnndc  9836  uzsubsubfz1  10273  elfz1end  10280  fznn  10314  fzo1fzo0n0  10412  elfzonlteqm1  10445  rebtwn2z  10504  nnsinds  10697  exp3vallem  10792  exp1  10797  expp1  10798  facp1  10982  faclbnd  10993  bcn1  11010  resqrexlemf1  11559  resqrexlemfp1  11560  summodclem3  11931  summodclem2a  11932  fsum3  11938  fsumcl2lem  11949  fsumadd  11957  sumsnf  11960  fsummulc2  11999  trireciplem  12051  geo2lim  12067  geoisum1  12070  geoisum1c  12071  cvgratnnlemnexp  12075  cvgratz  12083  prodmodclem3  12126  prodmodclem2a  12127  fprodseq  12134  fprodmul  12142  prodsnf  12143  fprodfac  12166  dvdsfac  12411  gcdsupex  12518  gcdsupcl  12519  prmind2  12682  eulerthlemrprm  12791  eulerthlema  12792  pcmpt  12906  prmunb  12925  nninfdclemp1  13061  structfn  13091  mulgnngsum  13704  mulg1  13706  mulgnndir  13728  lgsval2lem  15729  lgsdir  15754  lgsdilem2  15755  lgsdi  15756  lgsne0  15757  2lgslem1a  15807  2sqlem10  15844  clwwlkccatlem  16195  cvgcmp2nlemabs  16572  trilpolemisumle  16578  nconstwlpolem0  16603