Theorem elnnuz 9563

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9562	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2244	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5216  1c1 7811  ℕcn 8918  ℤ_≥cuz 9527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-z 9253  df-uz 9528

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9571  uznnssnn  9576  elnndc  9611  uzsubsubfz1  10047  elfz1end  10054  fznn  10088  fzo1fzo0n0  10182  elfzonlteqm1  10209  rebtwn2z  10254  nnsinds  10442  exp3vallem  10520  exp1  10525  expp1  10526  facp1  10709  faclbnd  10720  bcn1  10737  resqrexlemf1  11016  resqrexlemfp1  11017  summodclem3  11387  summodclem2a  11388  fsum3  11394  fsumcl2lem  11405  fsumadd  11413  sumsnf  11416  fsummulc2  11455  trireciplem  11507  geo2lim  11523  geoisum1  11526  geoisum1c  11527  cvgratnnlemnexp  11531  cvgratz  11539  prodmodclem3  11582  prodmodclem2a  11583  fprodseq  11590  fprodmul  11598  prodsnf  11599  fprodfac  11622  dvdsfac  11865  gcdsupex  11957  gcdsupcl  11958  prmind2  12119  eulerthlemrprm  12228  eulerthlema  12229  pcmpt  12340  prmunb  12359  nninfdclemp1  12450  structfn  12480  mulg1  12989  mulgnndir  13010  lgsval2lem  14381  lgsdir  14406  lgsdilem2  14407  lgsdi  14408  lgsne0  14409  2sqlem10  14442  cvgcmp2nlemabs  14750  trilpolemisumle  14756  nconstwlpolem0  14780