Theorem elnnuz 9667

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9666	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	eleq2i 2271	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  1c1 7908  ℕcn 9018  ℤ_≥cuz 9630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-z 9355  df-uz 9631

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9675  uznnssnn  9680  elnndc  9715  uzsubsubfz1  10152  elfz1end  10159  fznn  10193  fzo1fzo0n0  10288  elfzonlteqm1  10320  rebtwn2z  10378  nnsinds  10571  exp3vallem  10666  exp1  10671  expp1  10672  facp1  10856  faclbnd  10867  bcn1  10884  resqrexlemf1  11238  resqrexlemfp1  11239  summodclem3  11610  summodclem2a  11611  fsum3  11617  fsumcl2lem  11628  fsumadd  11636  sumsnf  11639  fsummulc2  11678  trireciplem  11730  geo2lim  11746  geoisum1  11749  geoisum1c  11750  cvgratnnlemnexp  11754  cvgratz  11762  prodmodclem3  11805  prodmodclem2a  11806  fprodseq  11813  fprodmul  11821  prodsnf  11822  fprodfac  11845  dvdsfac  12090  gcdsupex  12197  gcdsupcl  12198  prmind2  12361  eulerthlemrprm  12470  eulerthlema  12471  pcmpt  12585  prmunb  12604  nninfdclemp1  12740  structfn  12770  mulgnngsum  13381  mulg1  13383  mulgnndir  13405  lgsval2lem  15405  lgsdir  15430  lgsdilem2  15431  lgsdi  15432  lgsne0  15433  2lgslem1a  15483  2sqlem10  15520  cvgcmp2nlemabs  15835  trilpolemisumle  15841  nconstwlpolem0  15866