Theorem basendxnocndx 13516

Description: The slot for the orthocomplementation is not the slot for the base set in an extensible structure. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
basendxnocndx	⊢ (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)

Proof of Theorem basendxnocndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8291	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		1nn 9270	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		1nn0 9534	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		1lt10 9870	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
5	2, 3, 3, 4	declti 9769	. . 3 ⊢ 1 < ;11
6	1, 5	ltneii 8388	. 2 ⊢ 1 ≠ ;11
7		basendx 13357	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
8		ocndx 13514	. . 3 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
9	7, 8	neeq12i 2431	. 2 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 1 ≠ ;11)
10	6, 9	mpbir 146	1 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2414  ‘cfv 5359  1c1 8146  ;cdc 9732  ndxcnx 13299  Basecbs 13302  occoc 13388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-z 9600  df-dec 9733  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-ocomp 13401

This theorem is referenced by: (None)