ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  serf0 GIF version

Theorem serf0 11359
Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcauc.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
serf0.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
serf0.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
serf0.4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
serf0.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
serf0 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 0)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑍   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑉

Proof of Theorem serf0
Dummy variables 𝑗 π‘š 𝑛 π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serf0.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 serf0.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3 climcauc.1 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
43climcaucn 11358 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))) < π‘₯))
51, 2, 4syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))) < π‘₯))
63cau3 11123 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) < π‘₯))
75, 6sylib 122 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) < π‘₯))
83peano2uzs 9583 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
98adantl 277 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
10 eluzelz 9536 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘š ∈ β„€)
11 uzid 9541 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„€ β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š))
12 peano2uz 9582 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ (π‘š + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š))
13 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (π‘š + 1) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))
1413oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘š + 1) β†’ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1))))
1514fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘š + 1) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) = (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))))
1615breq1d 4013 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (π‘š + 1) β†’ ((absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))) < π‘₯))
1716rspcv 2837 . . . . . . . . . 10 ((π‘š + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))) < π‘₯))
1810, 11, 12, 174syl 18 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))) < π‘₯))
1918adantld 278 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) < π‘₯) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))) < π‘₯))
2019ralimia 2538 . . . . . . 7 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))) < π‘₯)
21 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2221, 3eleqtrdi 2270 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
23 eluzelz 9536 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
25 eluzp1m1 9550 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
2624, 25sylan 283 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
27 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))
28 fvoveq1 5897 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)))
2927, 28oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))))
3029fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))) = (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)))))
3130breq1d 4013 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ ((absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)))) < π‘₯))
3231rspcv 2837 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)))) < π‘₯))
3326, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)))) < π‘₯))
34 serf0.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
353, 1, 34serf 10473 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
3635ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
373uztrn2 9544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ 𝑍)
3821, 26, 37syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ 𝑍)
3936, 38ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
403uztrn2 9544 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
419, 40sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4236, 41ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4339, 42abssubd 11201 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) = (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))))
44 eluzelz 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4544adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4645zcnd 9375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
47 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ β„‚
48 npcan 8165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1) = π‘˜)
4946, 47, 48sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1) = π‘˜)
5049fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))
5150oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜)))
5251fveq2d 5519 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)))) = (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))))
531ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
54 eluzp1p1 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
5522, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
56 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))
5756uztrn2 9544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
5855, 57sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
59 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = π‘Ž β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘Ž))
6059eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘Ž β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚))
6134ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6261ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
63 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6463, 3eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑍)
6560, 62, 64rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
66 addcl 7935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ (π‘Ž + 𝑏) ∈ β„‚)
6766adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) ∧ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚)) β†’ (π‘Ž + 𝑏) ∈ β„‚)
6853, 58, 65, 67seq3m1 10467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) + (πΉβ€˜π‘˜)))
6968oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = (((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) + (πΉβ€˜π‘˜)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
7034adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7141, 70syldan 282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7239, 71pncan2d 8269 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) + (πΉβ€˜π‘˜)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜π‘˜))
7369, 72eqtr2d 2211 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
7473fveq2d 5519 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))))
7543, 52, 743eqtr4d 2220 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)))) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
7675breq1d 4013 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ ((absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
7733, 76sylibd 149 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
7877ralrimdva 2557 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(π‘š + 1)))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
7920, 78syl5 32 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
80 fveq2 5515 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1)))
8180raleqdv 2678 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
8281rspcev 2841 . . . . . 6 (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑗 + 1))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)
839, 79, 82syl6an 1434 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
8483rexlimdva 2594 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
8584ralimdv 2545 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘˜))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
867, 85mpd 13 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)
87 serf0.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
88 eqidd 2178 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
893, 1, 87, 88, 34clim0c 11293 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
9086, 89mpbird 167 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  dom cdm 4626  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7991   βˆ’ cmin 8127  β„€cz 9252  β„€β‰₯cuz 9527  β„+crp 9652  seqcseq 10444  abscabs 11005   ⇝ cli 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286
This theorem is referenced by:  mertenslem2  11543
  Copyright terms: Public domain W3C validator