Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | serf0.2 |
. . . . 5
β’ (π β π β β€) |
2 | | serf0.4 |
. . . . 5
β’ (π β seqπ( + , πΉ) β dom β ) |
3 | | climcauc.1 |
. . . . . 6
β’ π =
(β€β₯βπ) |
4 | 3 | climcaucn 11358 |
. . . . 5
β’ ((π β β€ β§ seqπ( + , πΉ) β dom β ) β βπ₯ β β+
βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((seqπ( + , πΉ)βπ) β β β§ (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯)) |
5 | 1, 2, 4 | syl2anc 411 |
. . . 4
β’ (π β βπ₯ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((seqπ( + , πΉ)βπ) β β β§ (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯)) |
6 | 3 | cau3 11123 |
. . . 4
β’
(βπ₯ β
β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((seqπ( + , πΉ)βπ) β β β§ (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯) β βπ₯ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((seqπ( + , πΉ)βπ) β β β§ βπ β
(β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯)) |
7 | 5, 6 | sylib 122 |
. . 3
β’ (π β βπ₯ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((seqπ( + , πΉ)βπ) β β β§ βπ β
(β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯)) |
8 | 3 | peano2uzs 9583 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (π + 1) β π) |
9 | 8 | adantl 277 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π) β (π + 1) β π) |
10 | | eluzelz 9536 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
11 | | uzid 9541 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β€ β π β
(β€β₯βπ)) |
12 | | peano2uz 9582 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (π + 1) β
(β€β₯βπ)) |
13 | | fveq2 5515 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = (π + 1) β (seqπ( + , πΉ)βπ) = (seqπ( + , πΉ)β(π + 1))) |
14 | 13 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = (π + 1) β ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ)) = ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) |
15 | 14 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = (π + 1) β (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) = (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1))))) |
16 | 15 | breq1d 4013 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (π + 1) β ((absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯ β (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) < π₯)) |
17 | 16 | rspcv 2837 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π + 1) β
(β€β₯βπ) β (βπ β (β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯ β (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) < π₯)) |
18 | 10, 11, 12, 17 | 4syl 18 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (βπ β (β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯ β (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) < π₯)) |
19 | 18 | adantld 278 |
. . . . . . . 8
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (((seqπ( + , πΉ)βπ) β β β§ βπ β
(β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯) β (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) < π₯)) |
20 | 19 | ralimia 2538 |
. . . . . . 7
β’
(βπ β
(β€β₯βπ)((seqπ( + , πΉ)βπ) β β β§ βπ β
(β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯) β βπ β (β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) < π₯) |
21 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π) β π β π) |
22 | 21, 3 | eleqtrdi 2270 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β π) β π β (β€β₯βπ)) |
23 | | eluzelz 9536 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β€) |
24 | 22, 23 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β π) β π β β€) |
25 | | eluzp1m1 9550 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β β€ β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β (π β 1) β
(β€β₯βπ)) |
26 | 24, 25 | sylan 283 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (π β 1) β
(β€β₯βπ)) |
27 | | fveq2 5515 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = (π β 1) β (seqπ( + , πΉ)βπ) = (seqπ( + , πΉ)β(π β 1))) |
28 | | fvoveq1 5897 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = (π β 1) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)) = (seqπ( + , πΉ)β((π β 1) + 1))) |
29 | 27, 28 | oveq12d 5892 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = (π β 1) β ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1))) = ((seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)β((π β 1) + 1)))) |
30 | 29 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = (π β 1) β (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) = (absβ((seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)β((π β 1) + 1))))) |
31 | 30 | breq1d 4013 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = (π β 1) β ((absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) < π₯ β (absβ((seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)β((π β 1) + 1)))) < π₯)) |
32 | 31 | rspcv 2837 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β 1) β
(β€β₯βπ) β (βπ β (β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) < π₯ β (absβ((seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)β((π β 1) + 1)))) < π₯)) |
33 | 26, 32 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (βπ β
(β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) < π₯ β (absβ((seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)β((π β 1) + 1)))) < π₯)) |
34 | | serf0.5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β π) β (πΉβπ) β β) |
35 | 3, 1, 34 | serf 10473 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β seqπ( + , πΉ):πβΆβ) |
36 | 35 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β seqπ( + , πΉ):πβΆβ) |
37 | 3 | uztrn2 9544 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β π β§ (π β 1) β
(β€β₯βπ)) β (π β 1) β π) |
38 | 21, 26, 37 | syl2an2r 595 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (π β 1) β π) |
39 | 36, 38 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) β β) |
40 | 3 | uztrn2 9544 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π + 1) β π β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β π) |
41 | 9, 40 | sylan 283 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β π) |
42 | 36, 41 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (seqπ( + , πΉ)βπ) β β) |
43 | 39, 42 | abssubd 11201 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β
(absβ((seqπ( + ,
πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) = (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π β 1))))) |
44 | | eluzelz 9536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β
(β€β₯β(π + 1)) β π β β€) |
45 | 44 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β
β€) |
46 | 45 | zcnd 9375 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β
β) |
47 | | ax-1cn 7903 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ 1 β
β |
48 | | npcan 8165 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β β§ 1 β
β) β ((π β
1) + 1) = π) |
49 | 46, 47, 48 | sylancl 413 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((π β 1) + 1) = π) |
50 | 49 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (seqπ( + , πΉ)β((π β 1) + 1)) = (seqπ( + , πΉ)βπ)) |
51 | 50 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)β((π β 1) + 1))) = ((seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) |
52 | 51 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β
(absβ((seqπ( + ,
πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)β((π β 1) + 1)))) = (absβ((seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)βπ)))) |
53 | 1 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β β€) |
54 | | eluzp1p1 9552 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (π + 1) β
(β€β₯β(π + 1))) |
55 | 22, 54 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β π) β (π + 1) β
(β€β₯β(π + 1))) |
56 | | eqid 2177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(β€β₯β(π + 1)) =
(β€β₯β(π + 1)) |
57 | 56 | uztrn2 9544 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π + 1) β
(β€β₯β(π + 1)) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β
(β€β₯β(π + 1))) |
58 | 55, 57 | sylan 283 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β
(β€β₯β(π + 1))) |
59 | | fveq2 5515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = π β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
60 | 59 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = π β ((πΉβπ) β β β (πΉβπ) β β)) |
61 | 34 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β βπ β π (πΉβπ) β β) |
62 | 61 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β€β₯βπ)) β βπ β π (πΉβπ) β β) |
63 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β€β₯βπ)) β π β (β€β₯βπ)) |
64 | 63, 3 | eleqtrrdi 2271 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β€β₯βπ)) β π β π) |
65 | 60, 62, 64 | rspcdva 2846 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ π β (β€β₯βπ)) β (πΉβπ) β β) |
66 | | addcl 7935 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β β§ π β β) β (π + π) β β) |
67 | 66 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β§ (π β β β§ π β β)) β (π + π) β β) |
68 | 53, 58, 65, 67 | seq3m1 10467 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (seqπ( + , πΉ)βπ) = ((seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) + (πΉβπ))) |
69 | 68 | oveq1d 5889 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π β 1))) = (((seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) + (πΉβπ)) β (seqπ( + , πΉ)β(π β 1)))) |
70 | 34 | adantlr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β π) β§ π β π) β (πΉβπ) β β) |
71 | 41, 70 | syldan 282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (πΉβπ) β β) |
72 | 39, 71 | pncan2d 8269 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (((seqπ( + , πΉ)β(π β 1)) + (πΉβπ)) β (seqπ( + , πΉ)β(π β 1))) = (πΉβπ)) |
73 | 69, 72 | eqtr2d 2211 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (πΉβπ) = ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π β 1)))) |
74 | 73 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (absβ(πΉβπ)) = (absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π β 1))))) |
75 | 43, 52, 74 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β
(absβ((seqπ( + ,
πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)β((π β 1) + 1)))) = (absβ(πΉβπ))) |
76 | 75 | breq1d 4013 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β
((absβ((seqπ( + ,
πΉ)β(π β 1)) β (seqπ( + , πΉ)β((π β 1) + 1)))) < π₯ β (absβ(πΉβπ)) < π₯)) |
77 | 33, 76 | sylibd 149 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β (βπ β
(β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) < π₯ β (absβ(πΉβπ)) < π₯)) |
78 | 77 | ralrimdva 2557 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π) β (βπ β (β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)β(π + 1)))) < π₯ β βπ β (β€β₯β(π + 1))(absβ(πΉβπ)) < π₯)) |
79 | 20, 78 | syl5 32 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π) β (βπ β (β€β₯βπ)((seqπ( + , πΉ)βπ) β β β§ βπ β
(β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯) β βπ β (β€β₯β(π + 1))(absβ(πΉβπ)) < π₯)) |
80 | | fveq2 5515 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (π + 1) β
(β€β₯βπ) = (β€β₯β(π + 1))) |
81 | 80 | raleqdv 2678 |
. . . . . . 7
β’ (π = (π + 1) β (βπ β (β€β₯βπ)(absβ(πΉβπ)) < π₯ β βπ β (β€β₯β(π + 1))(absβ(πΉβπ)) < π₯)) |
82 | 81 | rspcev 2841 |
. . . . . 6
β’ (((π + 1) β π β§ βπ β (β€β₯β(π + 1))(absβ(πΉβπ)) < π₯) β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(absβ(πΉβπ)) < π₯) |
83 | 9, 79, 82 | syl6an 1434 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β π) β (βπ β (β€β₯βπ)((seqπ( + , πΉ)βπ) β β β§ βπ β
(β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯) β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(absβ(πΉβπ)) < π₯)) |
84 | 83 | rexlimdva 2594 |
. . . 4
β’ (π β (βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((seqπ( + , πΉ)βπ) β β β§ βπ β
(β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯) β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(absβ(πΉβπ)) < π₯)) |
85 | 84 | ralimdv 2545 |
. . 3
β’ (π β (βπ₯ β β+
βπ β π βπ β (β€β₯βπ)((seqπ( + , πΉ)βπ) β β β§ βπ β
(β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , πΉ)βπ) β (seqπ( + , πΉ)βπ))) < π₯) β βπ₯ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(absβ(πΉβπ)) < π₯)) |
86 | 7, 85 | mpd 13 |
. 2
β’ (π β βπ₯ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(absβ(πΉβπ)) < π₯) |
87 | | serf0.3 |
. . 3
β’ (π β πΉ β π) |
88 | | eqidd 2178 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π) β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
89 | 3, 1, 87, 88, 34 | clim0c 11293 |
. 2
β’ (π β (πΉ β 0 β βπ₯ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(absβ(πΉβπ)) < π₯)) |
90 | 86, 89 | mpbird 167 |
1
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