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Theorem serf0 11377
Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcauc.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
serf0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
serf0.3 (𝜑𝐹𝑉)
serf0.4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
serf0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
serf0 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉

Proof of Theorem serf0
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serf0.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 serf0.4 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3 climcauc.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
43climcaucn 11376 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
51, 2, 4syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
63cau3 11141 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥))
75, 6sylib 122 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥))
83peano2uzs 9601 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
98adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
10 eluzelz 9554 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
11 uzid 9559 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
12 peano2uz 9600 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑚) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ𝑚))
13 fveq2 5529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))
1413oveq2d 5906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1))))
1514fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))))
1615breq1d 4027 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥))
1716rspcv 2851 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ𝑚) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥 → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥))
1810, 11, 12, 174syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥 → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥))
1918adantld 278 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥))
2019ralimia 2550 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥)
21 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2221, 3eleqtrdi 2281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
23 eluzelz 9554 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
25 eluzp1m1 9568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ (ℤ𝑗))
2624, 25sylan 283 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ (ℤ𝑗))
27 fveq2 5529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)))
28 fvoveq1 5913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))
2927, 28oveq12d 5908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1))))
3029fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))))
3130breq1d 4027 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) < 𝑥))
3231rspcv 2851 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 − 1) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥 → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) < 𝑥))
3326, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥 → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) < 𝑥))
34 serf0.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
353, 1, 34serf 10491 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
3635ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
373uztrn2 9562 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ 𝑍)
3821, 26, 37syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ 𝑍)
3936, 38ffvelcdmd 5667 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
403uztrn2 9562 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘𝑍)
419, 40sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘𝑍)
4236, 41ffvelcdmd 5667 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
4339, 42abssubd 11219 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)))))
44 eluzelz 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4544adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
4645zcnd 9393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
47 ax-1cn 7921 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
48 npcan 8183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
4946, 47, 48sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
5049fveq2d 5533 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))
5150oveq2d 5906 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘)))
5251fveq2d 5533 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))))
531ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
54 eluzp1p1 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
5522, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
56 eqid 2188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
5756uztrn2 9562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
5855, 57sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
59 fveq2 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑎 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑎))
6059eleq1d 2257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑎 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑎) ∈ ℂ))
6134ralrimiva 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6261ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
63 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑀))
6463, 3eleqtrrdi 2282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑎𝑍)
6560, 62, 64rspcdva 2860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
66 addcl 7953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
6766adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
6853, 58, 65, 67seq3m1 10485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) + (𝐹𝑘)))
6968oveq1d 5905 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1))) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) + (𝐹𝑘)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1))))
7034adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7141, 70syldan 282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7239, 71pncan2d 8287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) + (𝐹𝑘)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1))) = (𝐹𝑘))
7369, 72eqtr2d 2222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (𝐹𝑘) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1))))
7473fveq2d 5533 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)))))
7543, 52, 743eqtr4d 2231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
7675breq1d 4027 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
7733, 76sylibd 149 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
7877ralrimdva 2569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
7920, 78syl5 32 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
80 fveq2 5529 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (ℤ𝑛) = (ℤ‘(𝑗 + 1)))
8180raleqdv 2691 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
8281rspcev 2855 . . . . . 6 (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥)
839, 79, 82syl6an 1444 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
8483rexlimdva 2606 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
8584ralimdv 2557 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
867, 85mpd 13 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥)
87 serf0.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
88 eqidd 2189 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
893, 1, 87, 88, 34clim0c 11311 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
9086, 89mpbird 167 1 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1363  wcel 2159  wral 2467  wrex 2468   class class class wbr 4017  dom cdm 4640  wf 5226  cfv 5230  (class class class)co 5890  cc 7826  0cc0 7828  1c1 7829   + caddc 7831   < clt 8009  cmin 8145  cz 9270  cuz 9545  +crp 9670  seqcseq 10462  abscabs 11023  cli 11303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-rp 9671  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-cj 10868  df-re 10869  df-im 10870  df-rsqrt 11024  df-abs 11025  df-clim 11304
This theorem is referenced by:  mertenslem2  11561
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