Theorem divmuleqap 8627

Description: Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divmuleqap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divmuleqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclap 8588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
2	1	3expb 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
3	2	ad2ant2r 506	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
4		divclap 8588	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
5	4	3expb 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
6	5	ad2ant2l 505	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
7		mulcl 7894	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
8	7	ad2ant2r 506	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
9		mulap0 8565	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) # 0)
10	8, 9	jca 304	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) # 0))
11	10	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) # 0))
12		mulcanap2 8577	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) # 0)) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷)))
13	3, 6, 11, 12	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷)))
14		simprll 532	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		simprrl 534	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	3, 14, 15	mulassd 7936	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)))
17		divcanap1 8591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
18	17	3expb 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
19	18	ad2ant2r 506	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
20	19	oveq1d 5866	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷))
21	16, 20	eqtr3d 2205	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = (𝐴 · 𝐷))
22	14, 15	mulcomd 7934	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
23	22	oveq2d 5867	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
24	6, 15, 14	mulassd 7936	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
25		divcanap1 8591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
26	25	3expb 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
27	26	ad2ant2l 505	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
28	27	oveq1d 5866	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
29	23, 24, 28	3eqtr2d 2209	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = (𝐵 · 𝐶))
30	21, 29	eqeq12d 2185	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))
31	13, 30	bitr3d 189	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851  ℂcc 7765  0cc0 7767   · cmul 7772   # cap 8493   / cdiv 8582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583

This theorem is referenced by:  divmuleqapd  8743  qtri3or  10192